Infini

L’infini est ce qui est illimité, sans fin ou plus grand que n’importe quel nombre naturel . Il est souvent désigné par le symbole de l’infini ∞ {displaystyle infty} .

Le symbole de l’infini

Depuis l’époque des Grecs de l’Antiquité , la nature philosophique de l’infini a fait l’objet de nombreuses discussions parmi les philosophes. Au XVIIe siècle, avec l’introduction du symbole de l’infini ^[1] et du Calcul infinitésimal , les mathématiciens ont commencé à travailler avec des séries infinies et ce que certains mathématiciens (dont l’Hôpital et Bernoulli ) ^[2] considéraient comme des quantités infiniment petites, mais l’infini continue d’être associée à des processus sans fin. ^[3]Alors que les mathématiciens luttaient avec les fondements du calcul, il restait difficile de savoir si l’infini pouvait être considéré comme un nombre ou une grandeur et, dans l’affirmative, comment cela pouvait être fait. ^[1] A la fin du XIXe siècle, Georg Cantor élargit l’étude mathématique de l’infini en étudiant les ensembles infinis et les nombres infinis , montrant qu’ils peuvent être de tailles diverses. ^{[1] [4]} Par exemple, si une ligne est considérée comme l’ensemble de tous ses points, leur nombre infini (c’est-à-dire le cardinal de la ligne) est supérieur au nombre d’ Entiers . ^[5] Dans cet usage, l’infini est un concept mathématique, et l’infiniles objets mathématiques peuvent être étudiés, manipulés et utilisés comme n’importe quel autre objet mathématique.

Le concept mathématique d’infini affine et étend l’ancien concept philosophique, notamment en introduisant une infinité de tailles différentes d’ensembles infinis. Parmi les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , sur lesquels la plupart des mathématiques modernes peuvent être développées, figure l’ axiome de l’infini , qui garantit l’existence d’ensembles infinis. ^[1] Le concept mathématique d’infini et la manipulation d’ensembles infinis sont utilisés partout en mathématiques, même dans des domaines comme la combinatoire qui peuvent sembler n’avoir rien à voir avec eux. Par exemple, la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat repose implicitement sur l’existence de très grands ensembles infinis ^[6]pour résoudre un problème de longue date énoncé en termes d’ arithmétique élémentaire .

En physique et en cosmologie , la question de savoir si l’Univers est infini est une question ouverte.

Histoire

Les cultures anciennes avaient diverses idées sur la nature de l’infini. Les anciens Indiens et les Grecs n’ont pas défini l’infini dans un formalisme précis comme le font les mathématiques modernes, et ont plutôt abordé l’infini comme un concept philosophique. Le mantra shanti suivant du Brihadaranyaka Upanishad ^[7] est un exemple de la façon dont les anciens Indiens comprenaient le concept d’infini.

Devanagari	Translittération anglaise	Traduction anglaise
पूर्णमदः पूर्णमिदम् पूर्णात् पूर्णमुदच्यते \| पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते \|\| शान्तिः शान्तिः शान्तिः \|\| ^[8]	oṃ pūrṇam adaḥ pūrṇam idam pūrṇāt pūrṇam udacyate pūrṇasya pūrṇam ādāya pūrṇam evāvaśiṣyate oṃ śāntiḥ śāntiḥ śāntiḥ	Om! Cela est infini ( Homme ), et cet (univers) est infini. L’infini procède de l’infini. (Alors) prenant l’infinitude de l’infini (univers), Il reste comme l’infini ( Brahman ) seul. Om! Paix! Paix! Paix! ^[9]

Grec ancien

La première idée enregistrée de l’infini en Grèce est peut-être celle d’ Anaximandre (vers 610 – vers 546 avant JC), un philosophe grec présocratique . Il a utilisé le mot apeiron , qui signifie “illimité”, “indéfini”, et peut-être peut-être traduit par “infini”. ^{[1] [10]}

Aristote (350 av. J.-C.) distinguait l’infini potentiel de l’infini réel , qu’il considérait comme impossible en raison des divers paradoxes qu’il semblait produire. ^[11] On a soutenu que, conformément à ce point de vue, les Grecs hellénistiques avaient une “horreur de l’infini” ^{[12] [13]} qui expliquerait, par exemple, pourquoi Euclide (vers 300 avant JC) n’a pas dit qu’il existe une infinité de nombres premiers, mais plutôt “les nombres premiers sont plus que n’importe quelle multitude de nombres premiers attribués”. ^[14] Il a également été soutenu qu’en prouvant l’ Infinitude des nombres premiers , Euclide “fut le premier à vaincre l’horreur de l’infini”.Il existe une controverse similaire concernant le postulat parallèle d’Euclide , parfois traduit

Si une droite tombant à travers deux [autres] droites fait du même côté [d’elle-même] des angles internes dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors les deux [autres] droites, étant produites à l’infini, se rejoignent de ce côté [de la droite d’origine] que la [somme des angles internes] est inférieure à deux angles droits. ^[16]

D’autres traducteurs, cependant, préfèrent la traduction “les deux lignes droites, si elles sont produites indéfiniment …”, ^[17] évitant ainsi l’implication qu’Euclide était à l’aise avec la notion d’infini. Enfin, on a soutenu qu’une réflexion sur l’infini, loin de susciter une « horreur de l’infini », était sous-jacente à toute la philosophie grecque primitive et que « l’infini potentiel » d’Aristote est une aberration par rapport à la tendance générale de cette période. ^[18]

Zénon : Achille et la tortue

Zénon d’Elée ( vers 495 – vers 430 avant JC) n’a avancé aucune opinion concernant l’infini. Néanmoins, ses paradoxes, ^[19] en particulier « Achille et la tortue », ont été des contributions importantes en ce sens qu’ils ont mis en évidence l’insuffisance des conceptions populaires. Les paradoxes ont été décrits par Bertrand Russell comme « incommensurablement subtils et profonds ». ^[20]

Achille fait la course avec une tortue, donnant à cette dernière une longueur d’avance.

Étape 1 : Achille court jusqu’au point de départ de la tortue tandis que la tortue avance.
Étape #2 : Achille avance là où se trouvait la tortue à la fin de l’étape #1 tandis que la tortue va encore plus loin.
Étape #3 : Achille avance là où se trouvait la tortue à la fin de l’étape #2 tandis que la tortue va encore plus loin.
Étape #4 : Achille avance là où se trouvait la tortue à la fin de l’étape #3 tandis que la tortue va encore plus loin.

Etc.

Apparemment, Achille ne dépasse jamais la tortue, car quel que soit le nombre de pas qu’il franchit, la tortue reste devant lui.

Zeno n’essayait pas de faire un point sur l’infini. En tant que membre de l’ école Eleatics qui considérait le mouvement comme une illusion, il considérait comme une erreur de supposer qu’Achille pouvait courir du tout. Les penseurs ultérieurs, trouvant cette solution inacceptable, ont lutté pendant plus de deux millénaires pour trouver d’autres faiblesses à l’argument.

Enfin, en 1821, Augustin-Louis Cauchy fournit à la fois une définition satisfaisante d’une limite et une preuve que, pour 0 < x < 1 , ^[21]

a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 + a x 5 + ⋯ = a 1 − x . {displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+cdots ={frac {a}{1-x}}.}

Supposons qu’Achille court à 10 mètres par seconde, que la tortue marche à 0,1 mètre par seconde et que cette dernière ait 100 mètres d’avance. La durée de la poursuite correspond au modèle de Cauchy avec a = 10 secondes et x = 0,01 . Achille dépasse la tortue ; ça lui prend

10 + 0.1 + 0.001 + 0.00001 + ⋯ = 10 1 − .01 = 10 0.99 = 10.10101 … seconds . {displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+cdots ={frac {10}{1-.01}}={frac {10}{0.99}}=10.10101ldots {text{secondes}}. }

Premier indien

Le texte mathématique jaïn Surya Prajnapti (c. 4ème-3ème siècle avant notre ère) classe tous les nombres en trois ensembles: Énumérable , innombrable et infini. Chacun d’eux a été subdivisé en trois ordres: ^[22]

Énumérable : le plus bas, intermédiaire et le plus élevé
Innombrable : presque innombrable, vraiment innombrable et innombrablement innombrable
Infini : presque infini, vraiment infini, infiniment infini

17ème siècle

Au XVIIe siècle, les mathématiciens européens ont commencé à utiliser les nombres infinis et les expressions infinies de manière systématique. En 1655, John Wallis a utilisé pour la première fois la notation ∞ {displaystyle infty} pour un tel nombre dans son De sectionibus conicis, ^[23] et l’a exploité dans des calculs de surface en divisant la région en bandes infinitésimales de largeur de l’ordre de 1 ∞ . {displaystyle {tfrac {1}{infty}}.} ^[24] Mais dans Arithmetica infinitorum (également en 1655), il indique les séries infinies, les produits infinis et les fractions continues infinies en écrivant quelques termes ou facteurs puis en ajoutant “&c.”, comme dans “1, 6, 12, 18 , 24, etc.” ^[25]

En 1699, Isaac Newton a écrit sur les équations à un nombre infini de termes dans son ouvrage De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[26]

Mathématiques

Hermann Weyl a ouvert une adresse mathématico-philosophique donnée en 1930 avec : ^[27]

Les mathématiques sont la science de l’infini.

Symbole

Le symbole de l’infini ∞ {displaystyle infty} (parfois appelé le lemniscate ) est un symbole mathématique représentant le concept de l’infini. Le symbole est encodé en Unicode en U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^[28] et en LaTeX en . ^[29]infty

Il a été introduit en 1655 par John Wallis , ^{[30] [31]} et depuis son introduction, il a également été utilisé en dehors des mathématiques dans le mysticisme moderne ^[32] et la Symbologie littéraire . ^[33]

Calcul

Gottfried Leibniz , l’un des co-inventeurs du Calcul infinitésimal , a beaucoup spéculé sur les nombres infinis et leur utilisation en mathématiques. Pour Leibniz, les quantités infinitésimales et les quantités infinies étaient des entités idéales, non pas de la même nature que les quantités appréciables, mais jouissant des mêmes propriétés conformément à la Loi de Continuité . ^{[34] [2]}

Analyse réelle

En analyse réelle , le symbole ∞ {displaystyle infty} , appelé “infini”, est utilisé pour désigner une limite illimitée . ^[35] La notation x → ∞ {displaystyle xflèche droite infty} signifie que x {style d’affichage x} augmente sans limite, et x → − ∞ {displaystyle xto -infty} signifie que x {style d’affichage x} diminue sans limite. Par exemple, si f ( t ) ≥ 0 {displaystyle f(t)geq 0} pour chaque t {displaystyle t} , alors ^[36]

∫ a b f ( t ) d t = ∞ {displaystyle int _{a}^{b}f(t),dt=infty} signifie que f ( t ) {displaystyle f(t)} ne délimite pas une zone finie à partir de a {displaystyle a} pour b . {displaystyle b.}
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {displaystyle int _{-infty}^{infty}f(t),dt=infty} signifie que la zone sous f ( t ) {displaystyle f(t)} est infini.
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = a {displaystyle int _{-infty}^{infty}f(t),dt=a} signifie que la superficie totale sous f ( t ) {displaystyle f(t)} est fini et est égal à a . {displaystyle a.}

Infinity peut également être utilisé pour décrire une Série infinie , comme suit :

∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {displaystyle sum _{i=0}^{infty}f(i)=a} signifie que la somme de la Série infinie converge vers une valeur réelle a . {displaystyle a.}
∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {displaystyle sum _{i=0}^{infty}f(i)=infty} signifie que la somme de la Série infinie diverge proprement à l’infini, en ce sens que les sommes partielles augmentent sans limite. ^[37]

En plus de définir une limite, l’infini peut également être utilisé comme valeur dans le système de nombres réels étendu. Points étiquetés + ∞ {displaystyle +infty} et − ∞ {displaystyle -infty} peut être ajouté à l’ espace topologique des nombres réels, produisant la compactification en deux points des nombres réels. En y ajoutant des propriétés algébriques, nous obtenons les nombres réels étendus . ^[38] On peut aussi traiter + ∞ {displaystyle +infty} et − ∞ {displaystyle -infty} comme le même, conduisant à la Compactification en un point des nombres réels, qui est la ligne projective réelle . ^[39] La géométrie projective fait également référence à une ligne à l’infini dans la géométrie plane, à un plan à l’infini dans l’espace tridimensionnel et à un hyperplan à l’infini pour les dimensions générales , chacun consistant en des points à l’infini . ^[40]

Analyse complexe Par projection stéréographique , le plan complexe peut être “enroulé” sur une sphère, le sommet de la sphère correspondant à l’infini. C’est ce qu’on appelle la sphère de Riemann .

Dans l’analyse complexe, le symbole ∞ {displaystyle infty} , appelé “infini”, désigne une limite infinie non signée . x → ∞ {displaystyle xflèche droite infty} signifie que l’ampleur | x | {displaystyle |x|} de x {style d’affichage x} croît au-delà de toute valeur assignée. Un point étiqueté ∞ {displaystyle infty} peut être ajouté au plan complexe comme un espace topologique donnant la Compactification en un point du plan complexe. ^[41] Lorsque cela est fait, l’espace résultant est une variété complexe unidimensionnelle , ou surface de Riemann , appelée le plan complexe étendu ou la sphère de Riemann . Des opérations arithmétiques similaires à celles données ci-dessus pour les nombres réels étendus peuvent également être définies, bien qu’il n’y ait pas de distinction dans les signes (ce qui conduit à la seule exception que l’infini ne peut pas être ajouté à lui-même). D’autre part, ce type d’infini permet la division par zéro , à savoir z / 0 = ∞ {displaystyle z/0=infty} pour tout nombre complexe non nul z {displaystyle z} . Dans ce contexte, il est souvent utile de considérer les fonctions méromorphes comme des cartes dans la sphère de Riemann prenant la valeur de ∞ {displaystyle infty} aux pôles. Le domaine d’une fonction à valeurs complexes peut être étendu pour inclure également le point à l’infini. Un exemple important de telles fonctions est le groupe de transformations de Möbius (voir Transformation de Möbius § Présentation ).

Analyse non standard

Infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite numérique hyperréelle (1/ε = ω/1)

La formulation originale du Calcul infinitésimal par Isaac Newton et Gottfried Leibniz utilisait des quantités infinitésimales . Au XXe siècle, il a été démontré que ce traitement pouvait être mis sur une base rigoureuse à travers divers systèmes logiques , y compris l’analyse infinitésimale lisse et l’analyse non standard . Dans ce dernier, les infinitésimaux sont inversibles et leurs inverses sont des nombres infinis. Les infinis en ce sens font partie d’un champ hyperréel ; il n’y a pas d’équivalence entre eux comme avec les transfinis cantoriens. Par exemple, si H est un nombre infini dans ce sens, alors H + H = 2H et H + 1 sont des nombres infinis distincts. Cette approche du Calcul non standard est entièrement développée dans Keisler (1986) .

Théorie des ensembles

Correspondance biunivoque entre un ensemble infini et son sous-ensemble propre

Une forme différente de “l’infini” sont les infinis ordinaux et cardinaux de la théorie des ensembles – un système de nombres transfinis développé pour la première fois par Georg Cantor . Dans ce système, le premier cardinal transfini est aleph-null ( א ₀ ), le cardinal de l’ensemble des nombres naturels . Cette conception mathématique moderne de l’infini quantitatif s’est développée à la fin du XIXe siècle à partir des travaux de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind et d’autres, en utilisant l’idée de collections ou d’ensembles. ^[1]

L’approche de Dedekind était essentiellement d’adopter l’idée de correspondance un à un comme norme pour comparer la taille des ensembles, et de rejeter l’opinion de Galilée (dérivé d’ Euclide ) selon laquelle le tout ne peut pas avoir la même taille que la partie (cependant , voir le paradoxe de Galilée où il conclut que les Entiers carrés positifs ont la même taille que les Entiers positifs). Un ensemble infini peut simplement être défini comme un ensemble ayant la même taille qu’au moins une de ses parties propres ; cette notion d’infini s’appelle Dedekind infini. Le diagramme de droite donne un exemple : en considérant les lignes comme des ensembles infinis de points, la moitié gauche de la ligne bleue inférieure peut être mappée de manière univoque (correspondances vertes) sur la ligne bleue supérieure, et, à son tour , à toute la ligne bleue inférieure (correspondances rouges) ; donc toute la ligne bleue inférieure et sa moitié gauche ont la même cardinalité, c’est-à-dire la “taille”. ^{[ citation nécessaire ]}

Cantor a défini deux types de nombres infinis : les nombres ordinaux et les nombres cardinaux . Les nombres ordinaux caractérisent des ensembles bien ordonnés , ou le comptage effectué jusqu’à n’importe quel point d’arrêt, y compris les points après qu’un nombre infini a déjà été compté. La généralisation de séquences infinies finies et (ordinaires) qui sont des applications à partir des Entiers positifs conduit à des applicationsdes nombres ordinaux aux suites transfinies. Les nombres cardinaux définissent la taille des ensembles, c’est-à-dire le nombre de membres qu’ils contiennent, et peuvent être normalisés en choisissant le premier nombre ordinal d’une certaine taille pour représenter le nombre cardinal de cette taille. Le plus petit infini ordinal est celui des Entiers positifs, et tout ensemble qui a le cardinal des Entiers est dénombrable infini . Si un ensemble est trop grand pour être mis en correspondance biunivoque avec les Entiers positifs, il est appelé indénombrable . Les vues de Cantor ont prévalu et les mathématiques modernes acceptent l’infini réel comme faisant partie d’une théorie cohérente et cohérente. ^{[42] [43] [ pages nécessaires ]}Certains systèmes de nombres étendus, tels que les nombres hyperréels, incorporent les nombres ordinaires (finis) et les nombres infinis de différentes tailles. ^{[ citation nécessaire ]}

Cardinalité du continuum

L’un des résultats les plus importants de Cantor était que la cardinalité du continuum c {displaystyle mathbf {c} } est supérieur à celui des nombres naturels א 0 {displaystyle {aleph _{0}}} ; c’est-à-dire qu’il y a plus de nombres réels R que de nombres naturels N . A savoir, Cantor a montré que c = 2 א 0 > א 0 {displaystyle mathbf {c} =2^{aleph _{0}}>{aleph _{0}}} . ^[44]

L’ hypothèse du continu indique qu’il n’y a pas de nombre cardinal entre la cardinalité des réels et la cardinalité des nombres naturels, c’est-à-dire c = א 1 = ב 1 {displaystyle mathbf {c} =aleph _{1}=beth _{1}} .

Cette hypothèse ne peut pas être prouvée ou réfutée dans le cadre de la théorie des ensembles largement acceptée de Zermelo-Fraenkel , même en supposant l’ axiome du choix . ^[45]

L’arithmétique cardinale peut être utilisée pour montrer non seulement que le nombre de points dans une ligne de nombres réels est égal au nombre de points dans n’importe quel segment de cette ligne , mais aussi que cela est égal au nombre de points sur un plan et, en effet , dans tout espace de dimension finie . ^{[ citation nécessaire ]}

Les trois premières étapes d’une construction fractale dont la limite est une courbe remplissant l’espace , montrant qu’il y a autant de points dans une ligne à une dimension que dans un carré à deux dimensions.

Le premier de ces résultats apparaît en considérant, par exemple, la fonction tangente , qui fournit une correspondance biunivoque entre l’ intervalle ( −π/2, π/2) et R.

Le deuxième résultat a été prouvé par Cantor en 1878, mais n’est devenu intuitivement apparent qu’en 1890, lorsque Giuseppe Peano a introduit les courbes de remplissage d’espace , des lignes courbes qui se tordent et tournent suffisamment pour remplir la totalité de n’importe quel carré, ou cube , ou hypercube , ou espace de dimension finie. Ces courbes peuvent être utilisées pour définir une correspondance univoque entre les points d’un côté d’un carré et les points du carré. ^[46]

Géométrie

Jusqu’à la fin du XIXe siècle, l’infini était rarement abordé en géométrie , sauf dans le cadre de processus pouvant se poursuivre sans limite. Par exemple, une ligne était ce qu’on appelle maintenant un segment de ligne , à condition qu’on puisse l’étendre aussi loin qu’on veut ; mais il n’était pas question de l’étendre à l’ infini . De même, une ligne n’était généralement pas considérée comme composée d’un nombre infini de points, mais était un emplacement où un point pouvait être placé. Même s’il existe une infinité de positions possibles, seul un nombre fini de points peut être placé sur une ligne. Un témoin en est l’expression “le lieu d’ un pointqui satisfait une propriété” (singulier), là où les mathématiciens modernes diraient généralement “l’ensemble des points qui ont la propriété” (pluriel).

L’une des rares exceptions d’un concept mathématique impliquant l’ infini réel était la géométrie projective , où des points à l’infini sont ajoutés à l’ espace euclidien pour modéliser l’ effet de perspective qui montre des lignes parallèles se coupant “à l’infini”. Mathématiquement, les points à l’infini ont l’avantage de permettre de ne pas considérer certains cas particuliers. Par exemple, dans un plan projectif , deux droites distinctesse coupent en exactement un point, alors que sans points à l’infini, il n’y a pas de points d’intersection pour les droites parallèles. Ainsi, les lignes parallèles et non parallèles doivent être étudiées séparément en géométrie classique, alors qu’elles n’ont pas besoin d’être distinguées en géométrie projective.

Avant l’utilisation de la théorie des ensembles pour la fondation des mathématiques , les points et les lignes étaient considérés comme des entités distinctes, et un point pouvait être situé sur une ligne . Avec l’utilisation universelle de la théorie des ensembles en mathématiques, le point de vue a radicalement changé : une droite est désormais considérée comme l’ensemble de ses points , et on dit qu’un point appartient à une droite au lieu de se situer sur une droite (cependant, cette dernière expression est toujours utilisée).

En particulier, en mathématiques modernes, les droites sont des ensembles infinis .

Dimension infinie

Les espaces vectoriels qui apparaissent en géométrie classique ont toujours une dimension finie , généralement deux ou trois. Cependant, cela n’est pas impliqué par la définition abstraite d’un espace vectoriel, et des espaces vectoriels de dimension infinie peuvent être considérés. C’est typiquement le cas en analyse fonctionnelle où les espaces fonctionnels sont généralement des espaces vectoriels de dimension infinie.

En topologie, certaines constructions peuvent générer des espaces topologiques de dimension infinie. C’est notamment le cas des espaces de boucles itérées .

Fractales

La structure d’un objet fractal est réitérée dans ses grossissements. Les fractales peuvent être grossies indéfiniment sans perdre leur structure et devenir « lisses » ; ils ont des périmètres infinis et peuvent avoir des aires infinies ou finies. Une telle courbe fractale avec un périmètre infini et une aire finie est le flocon de neige de Koch . ^{[ citation nécessaire ]}

Mathématiques sans infini

Leopold Kronecker était sceptique quant à la notion d’infini et à la façon dont ses collègues mathématiciens l’utilisaient dans les années 1870 et 1880. Ce scepticisme a été développé dans la philosophie des mathématiques appelée finitisme , une forme extrême de philosophie mathématique dans les écoles philosophiques et mathématiques générales du constructivisme et de l’ intuitionnisme . ^[47]

La physique

En physique , les approximations des nombres réels sont utilisées pour les mesures continues et les nombres naturels sont utilisés pour les mesures discrètes (c’est-à-dire le comptage). Des concepts de choses infinies telles qu’une onde plane infinie existent, mais il n’existe aucun moyen expérimental pour les générer. ^[48]

Cosmologie

La première proposition publiée selon laquelle l’univers est infini est venue de Thomas Digges en 1576. ^[49] Huit ans plus tard, en 1584, le philosophe et astronome italien Giordano Bruno a proposé un univers illimité dans On the Infinite Universe and Worlds : “Des soleils innombrables existent; d’innombrables terres tournent autour de ces soleils d’une manière similaire à la façon dont les sept planètes tournent autour de notre soleil. Les êtres vivants habitent ces mondes. ^[50]

Les cosmologistes ont longtemps cherché à découvrir si l’infini existe dans notre univers physique : Existe-t-il une infinité d’étoiles ? L’univers a-t-il un volume infini ? L’espace « dure-t-il éternellement » ? C’est encore une question ouverte de cosmologie . La question d’être infini est logiquement séparée de la question d’avoir des limites. La surface bidimensionnelle de la Terre, par exemple, est finie, mais n’a pas de bord. En voyageant en ligne droite par rapport à la courbure de la Terre, on finira par revenir à l’endroit exact d’où on est parti. L’univers, du moins en principe, pourrait avoir une topologie similaire. Si c’est le cas, on pourrait éventuellement revenir à son point de départ après avoir parcouru assez longtemps l’univers en ligne droite. ^[51]

La courbure de l’univers peut être mesurée par des moments multipolaires dans le spectre du rayonnement de fond cosmique . À ce jour, l’analyse des diagrammes de rayonnement enregistrés par le vaisseau spatial WMAP laisse entendre que l’univers a une topologie plate. Cela serait cohérent avec un univers physique infini. ^{[52] [53] [54]}

Cependant, l’univers pourrait être fini, même si sa courbure est plate. Un moyen facile de comprendre cela est de considérer des exemples bidimensionnels, tels que les jeux vidéo où les éléments qui quittent un bord de l’écran réapparaissent sur l’autre. La topologie de tels jeux est toroïdale et la géométrie est plate. De nombreuses possibilités délimitées et plates existent également pour l’espace tridimensionnel. ^[55]

Le concept d’infini s’étend également à l’ hypothèse du multivers , qui, lorsqu’elle est expliquée par des astrophysiciens tels que Michio Kaku , postule qu’il existe un nombre et une variété infinis d’univers. ^[56]

Logique

En logique , un argument de régression infinie est “un type d’argument typiquement philosophique visant à montrer qu’une thèse est défectueuse parce qu’elle génère une Série infinie lorsque (forme A) aucune série n’existe ou (forme B) si elle existait, la la thèse n’aurait pas le rôle (par exemple, de justification) qu’elle est censée jouer.” ^[57]

L’informatique

La norme à virgule flottante IEEE (IEEE 754) spécifie une valeur infinie positive et négative (ainsi que des valeurs indéfinies ). Ceux-ci sont définis comme le résultat d’un débordement arithmétique , d’une division par zéro et d’autres opérations exceptionnelles. ^[58]

Certains langages de programmation , tels que Java ^[59] et J , ^[60] permettent au programmeur un accès explicite aux valeurs positives et négatives de l’infini en tant que constantes de langage. Ceux-ci peuvent être utilisés comme éléments les plus grands et les plus petits , car ils se comparent (respectivement) à plus ou moins que toutes les autres valeurs. Ils sont utilisés comme valeurs sentinelles dans les algorithmes impliquant le tri , la recherche ou le fenêtrage . ^{[ citation nécessaire ]}

Dans les langages qui n’ont pas les plus grands et les plus petits éléments, mais autorisent la surcharge des opérateurs relationnels , il est possible pour un programmeur de créer les plus grands et les plus petits éléments. Dans les langages qui ne fournissent pas d’accès explicite à ces valeurs à partir de l’état initial du programme, mais implémentent le type de données à virgule flottante , les valeurs infinies peuvent toujours être accessibles et utilisables à la suite de certaines opérations. ^{[ citation nécessaire ]}

En programmation, une boucle infinie est une boucle dont la condition de sortie n’est jamais satisfaite, donc s’exécutant indéfiniment.

Arts, jeux et sciences cognitives

Les illustrations en perspective utilisent le concept de points de fuite , correspondant approximativement à des points mathématiques à l’infini , situés à une distance infinie de l’observateur. Cela permet aux artistes de créer des peintures qui restituent de manière réaliste l’espace, les distances et les formes. ^[61] L’artiste MC Escher est spécifiquement connu pour employer le concept d’infini dans son travail de cette manière et d’autres. ^{[ citation nécessaire ]}

Les variantes d’ échecs jouées sur un échiquier illimité sont appelées échecs infinis . ^{[62] [63]}

Le scientifique cognitif George Lakoff considère le concept d’infini en mathématiques et en sciences comme une métaphore. Cette perspective est basée sur la métaphore de base de l’infini (IMC), définie comme la séquence toujours croissante <1,2,3,…>. ^[64]

Le symbole est souvent utilisé de manière romantique pour représenter l’amour éternel. Plusieurs types de bijoux sont façonnés dans la forme de l’infini à cet effet. ^{[ citation nécessaire ]}

Voir également

0,999…
Numéro Aleph
Ananta
Exponentation
Forme indéterminée
Théorème du singe infini
Ensemble infini
Infinitésimal
Paradoxes de l’infini
Supertâche
Numéro surréaliste

Références

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↑ Le statut ontologique des infinitésimaux n’était pas clair, mais seuls certains mathématiciens considéraient l’infinitésimal comme une quantité plus petite (en magnitude) que tout nombre positif. D’autres le considéraient soit comme un artefact qui facilite le calcul, soit comme une petite quantité qui peut être rendue de plus en plus petite jusqu’à ce que la quantité dans laquelle elle est impliquée atteigne finalement une limite . ^{[ citation nécessaire ]}
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Liens externes

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“L’Infini” . Encyclopédie Internet de Philosophie .
Infinity sur In Our Time à la BBC
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Page source sur l’écriture médiévale et moderne sur Infinity
Le Mystère De L’Aleph : Les Mathématiques, La Kabbale Et La Recherche De L’Infini
Dictionary of the Infinite (compilation d’articles sur l’infini en physique, en mathématiques et en philosophie)