Calcul

Le calcul , appelé à l’origine calcul infinitésimal ou “le calcul des infinitésimaux “, est l’ étude mathématique du changement continu, de la même manière que la géométrie est l’étude de la forme, et l’ algèbre est l’étude des généralisations des Opérations arithmétiques .

Il a deux grandes branches, le calcul différentiel et le Calcul intégral ; le calcul différentiel concerne les taux de variation instantanés et les pentes des courbes, tandis que le Calcul intégral concerne l’accumulation de quantités et les aires sous ou entre les courbes. Ces deux branches sont liées l’une à l’autre par le théorème fondamental du calcul , et elles utilisent les notions fondamentales de convergence de suites infinies et de séries infinies vers une limite bien définie . ^[1]

Le calcul infinitésimal a été développé indépendamment à la fin du 17ème siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[2] [3]} Des travaux ultérieurs, y compris la codification de l’idée de limites , ont placé ces développements sur une base conceptuelle plus solide. Aujourd’hui, le calcul infinitésimal a des utilisations répandues dans les sciences , l’ ingénierie et l’économie . ^[4]

Dans l’enseignement des mathématiques , le calcul différentiel désigne les cours d’ analyse mathématique élémentaire , qui sont principalement consacrés à l’étude des fonctions et des limites. Le mot calculus est latin pour “petit caillou” (le diminutif de calx , qui signifie “pierre”). Parce que ces cailloux étaient utilisés pour compter les distances, ^[5] comptabiliser les votes et faire de l’arithmétique avec le boulier , le mot en est venu à signifier une méthode de calcul. En ce sens, il a été utilisé en anglais au moins dès 1672, plusieurs années avant les publications de Leibniz et Newton. ^[6](L’ancienne signification persiste encore en médecine .) En plus du calcul différentiel et du Calcul intégral, le terme est également utilisé pour nommer des méthodes de calcul spécifiques et des théories connexes, telles que le calcul propositionnel , le calcul de Ricci , le calcul des variations , le calcul lambda , et processus de calcul .

Histoire

Le calcul moderne a été développé dans l’Europe du XVIIe siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz (indépendamment l’un de l’autre, publiant pour la première fois à peu près à la même époque) mais des éléments de celui-ci sont apparus dans la Grèce antique, puis en Chine et au Moyen-Orient, et encore plus tard. dans l’Europe médiévale et dans l’Inde.

Précurseurs anciens

Egypte

Les calculs de volume et d’ aire , un objectif du Calcul intégral, peuvent être trouvés dans le papyrus égyptien de Moscou ( vers 1820 av. J.-C.), mais les formules sont des instructions simples, sans indication de la manière dont elles ont été obtenues. ^{[7] [8]}

Grèce Archimède a utilisé la méthode de l’épuisement pour calculer l’aire sous une parabole.

Jetant les bases du Calcul intégral et préfigurant le concept de limite, le mathématicien grec ancien Eudoxe de Cnide (vers 390 – 337 avant notre ère) a développé la méthode d’épuisement pour prouver les formules des volumes de cône et de pyramide.

A l’ époque hellénistique , cette méthode est encore développée par Archimède , qui l’associe à un concept d’ indivisibles — précurseur des infinitésimaux — lui permettant de résoudre plusieurs problèmes aujourd’hui traités par le Calcul intégral. Ces problèmes comprennent, par exemple, le calcul du Centre de gravité d’un hémisphère solide , du Centre de gravité d’un tronc de paraboloïde circulaire et de l’aire d’une région délimitée par une parabole et l’une de ses lignes sécantes . ^[9]

Chine

La méthode d’épuisement a ensuite été découverte indépendamment en Chine par Liu Hui au 3ème siècle après JC afin de trouver l’aire d’un cercle. ^{[10] [11]} Au 5ème siècle ap J.-C., Zu Gengzhi , fils de Zu Chongzhi , a établi une méthode ^{[12] [13]} qui s’appellerait plus tard le principe de Cavalieri pour trouver le volume d’une sphère .

Médiéval

Moyen-Orient Isaac Newton a développé l’utilisation du calcul dans ses lois du mouvement et de la Gravitation .

La règle du produit et la règle de la chaîne , ^[23] les notions de dérivées supérieures et de séries de Taylor , ^[24] et de fonctions analytiques ^[25] ont été utilisées par Isaac Newton dans une notation idiosyncrasique qu’il a appliquée pour résoudre des problèmes de physique mathématique. Dans ses travaux, Newton a reformulé ses idées en fonction de l’idiome mathématique de l’époque, remplaçant les calculs par des infinitésimaux par des arguments géométriques équivalents considérés comme irréprochables. Il a utilisé les méthodes de calcul pour résoudre le problème du mouvement planétaire, la forme de la surface d’un fluide en rotation, l’aplatissement de la terre, le mouvement d’un poids glissant sur une cycloïde , et de nombreux autres problèmes discutés dans ses Principia Mathematica ( 1687). Dans d’autres travaux, il a développé des développements en série pour les fonctions, y compris les puissances fractionnaires et irrationnelles, et il était clair qu’il comprenait les principes de la série de Taylor . Il n’a pas publié toutes ces découvertes et, à cette époque, les méthodes infinitésimales étaient encore considérées comme peu recommandables.^[26]

Gottfried Wilhelm Leibniz a été le premier à énoncer clairement les règles du calcul.

Ces idées ont été arrangées dans un véritable calcul des infinitésimaux par Gottfried Wilhelm Leibniz , qui a été à l’origine accusé de plagiat par Newton. ^[27] Il est maintenant considéré comme un inventeur indépendant et un contributeur au calcul. Sa contribution était de fournir un ensemble clair de règles pour travailler avec des quantités infinitésimales, permettant le calcul des dérivées secondes et supérieures, et fournissant la règle du produit et la règle de la chaîne , sous leurs formes différentielles et intégrales. Contrairement à Newton, Leibniz a mis un effort minutieux dans ses choix de notation. ^[28]

Aujourd’hui, Leibniz et Newton sont généralement reconnus pour avoir inventé et développé indépendamment le calcul. Newton a été le premier à appliquer le calcul à la physique générale et Leibniz a développé une grande partie de la notation utilisée dans le calcul aujourd’hui. Les idées de base que Newton et Leibniz ont fournies étaient les lois de la différenciation et de l’intégration, les dérivées secondes et supérieures, et la notion d’une série de polynômes approximatifs.

Lorsque Newton et Leibniz ont publié leurs résultats pour la première fois, il y avait une grande controverse sur le mathématicien (et donc le pays) qui méritait d’être reconnu. Newton a d’abord dérivé ses résultats (qui seront publiés plus tard dans sa Méthode des Fluxions ), mais Leibniz a d’abord publié sa ” Nova Methodus pro Maximis et Minimis “. Newton a affirmé que Leibniz avait volé des idées dans ses notes non publiées, que Newton avait partagées avec quelques membres de la Royal Society . Cette polémique a séparé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones des mathématiciens d’Europe continentale, au détriment des mathématiques anglaises. ^[29]Un examen attentif des articles de Leibniz et de Newton montre qu’ils sont arrivés à leurs résultats indépendamment, Leibniz commençant d’abord par l’intégration et Newton par la différenciation. C’est cependant Leibniz qui a donné son nom à la nouvelle discipline. Newton a appelé son calcul ” la science des fluxions “, un terme qui a duré dans les écoles anglaises jusqu’au 19ème siècle. ^{[30] : 100} Le premier traité complet sur le calcul à être écrit en anglais et à utiliser la notation de Leibniz n’a été publié qu’en 1815. ^[31]

Depuis l’époque de Leibniz et de Newton, de nombreux mathématiciens ont contribué au développement continu du calcul. L’un des premiers et des plus complets ouvrages sur le calcul infinitésimal et intégral a été écrit en 1748 par Maria Gaetana Agnesi . ^{[32] [33]}

Maria Gaetana Agnesi

Fondations

En calcul, les fondements font référence au développement Rigoureux du sujet à partir d’ axiomes et de définitions. Dans les premiers calculs, l’utilisation de quantités infinitésimales était considérée comme peu rigoureuse et a été vivement critiquée par un certain nombre d’auteurs, notamment Michel Rolle et Bishop Berkeley . Berkeley a décrit les infinitésimaux comme les fantômes des quantités disparues dans son livre The Analyst en 1734. L’élaboration d’une base rigoureuse pour le calcul a occupé les mathématiciens pendant une grande partie du siècle après Newton et Leibniz, et est encore dans une certaine mesure un domaine de recherche actif aujourd’hui. ^[34]

Plusieurs mathématiciens, dont Maclaurin , ont tenté de prouver le bien-fondé de l’utilisation des infinitésimaux, mais ce n’est que 150 ans plus tard que, grâce aux travaux de Cauchy et Weierstrass , un moyen a finalement été trouvé pour éviter de simples « notions » de quantités infiniment petites. . ^[35] Les fondements du calcul différentiel et intégral avaient été posés. Dans le Cours d’Analyse de Cauchy , nous trouvons un large éventail d’approches fondamentales, y compris une définition de la continuité en termes d’infinitésimaux, et un prototype (quelque peu imprécis) d’une définition (ε, δ) de la limite dans la définition de la différenciation. ^[36]Dans son travail, Weierstrass a formalisé le concept de limite et éliminé les infinitésimaux (bien que sa définition puisse en fait valider les infinitésimaux nilsquare ). Suite aux travaux de Weierstrass, il est finalement devenu courant de baser le calcul sur des limites au lieu de quantités infinitésimales, bien que le sujet soit encore parfois appelé “calcul infinitésimal”. Bernhard Riemann a utilisé ces idées pour donner une définition précise de l’intégrale. ^[37] C’était aussi pendant cette période que les idées de calcul ont été généralisées au plan complexe avec le développement d’ analyse complexe . ^[38]

En mathématiques modernes, les fondements du calcul sont inclus dans le domaine de l’analyse réelle , qui contient des définitions complètes et des preuves des théorèmes du calcul. La portée du calcul s’est également considérablement étendue. Henri Lebesgue a inventé la théorie de la mesure , basée sur les développements antérieurs d’ Émile Borel , et l’a utilisée pour définir les intégrales de toutes les fonctions sauf les plus pathologiques . ^[39] Laurent Schwartz a introduit les distributions , qui peuvent être utilisées pour prendre la dérivée de n’importe quelle fonction. ^[40]

Les limites ne sont pas la seule approche rigoureuse de la fondation du calcul. Une autre façon consiste à utiliser l’ analyse non standard d’ Abraham Robinson . L’approche de Robinson, développée dans les années 1960, utilise des machines techniques issues de la logique mathématique pour augmenter le système des nombres réels avec des nombres infinitésimaux et infinis , comme dans la conception originale de Newton-Leibniz. Les nombres résultants sont appelés nombres hyperréels , et ils peuvent être utilisés pour donner un développement à la Leibniz des règles habituelles du calcul. ^[41] Il existe également une analyse infinitésimale lisse, qui diffère de l’analyse non standard en ce qu’elle oblige à négliger les infinitésimaux de puissance supérieure lors des dérivations. ^[34]

Importance

Alors que de nombreuses idées de calcul ont été développées plus tôt en Grèce , en Chine , en Inde , en Irak, en Perse et au Japon , l’utilisation du calcul a commencé en Europe, au 17ème siècle, quand Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz se sont appuyés sur les travaux de mathématiciens antérieurs pour introduire ses principes de base. ^{[11] [26] [42]} Le développement du calcul s’est appuyé sur des concepts antérieurs de mouvement instantané et d’aire sous les courbes.

Les applications du calcul différentiel comprennent les calculs impliquant la vitesse et l’ accélération , la pente d’une courbe et l’ optimisation . Les applications du Calcul intégral comprennent les calculs impliquant la surface, le volume , la longueur de l’arc , le centre de masse , le travail et la pression . Les applications plus avancées incluent les séries de puissance et les séries de Fourier .

Le calcul est également utilisé pour acquérir une compréhension plus précise de la nature de l’espace, du temps et du mouvement. Pendant des siècles, mathématiciens et philosophes ont lutté avec des paradoxes impliquant la division par zéro ou des sommes de nombres infiniment nombreux. Ces questions se posent dans l’étude du mouvement et de l’aire. L’ ancien philosophe grec Zénon d’Elée a donné plusieurs exemples célèbres de tels paradoxes . Le calcul fournit des outils, en particulier la limite et les séries infinies , qui résolvent les paradoxes. ^[43]

Des principes

Limites et infinitésimaux

Le calcul est généralement développé en travaillant avec de très petites quantités. Historiquement, la première méthode pour le faire était par infinitésimaux . Ce sont des objets qui peuvent être traités comme des nombres réels mais qui sont, en quelque sorte, “infiniment petits”. Par exemple, un nombre infinitésimal pourrait être supérieur à 0, mais inférieur à tout nombre de la séquence 1, 1/2, 1/3, … et donc inférieur à tout nombre réel positif . De ce point de vue, le calcul infinitésimal est un ensemble de techniques de manipulation des infinitésimaux. Les symboles d x {displaystyle dx} et d y {displaystyle dy} ont été pris infinitésimaux, et la dérivée d y / d x {displaystyle dy/dx} était simplement leur ratio. ^[34]

L’approche infinitésimale est tombée en désuétude au XIXe siècle car il était difficile de préciser la notion d’infinitésimal. À la fin du 19e siècle, les infinitésimaux ont été remplacés dans le milieu universitaire par l’ approche epsilon, delta des limites . Les limites décrivent le comportement d’une fonction à une certaine entrée en termes de ses valeurs aux entrées proches. Ils capturent le comportement à petite échelle dans le contexte du système des nombres réels. Dans ce traitement, le calcul est un ensemble de techniques permettant de manipuler certaines limites. Les infinitésimaux sont remplacés par de très petits nombres, et le comportement infiniment petit de la fonction est trouvé en prenant le comportement limite pour des nombres de plus en plus petits. On pensait que les limites fournissaient une base plus rigoureuse pour le calcul, et pour cette raison, elles sont devenues l’approche standard au cours du 20e siècle. Cependant, le concept infinitésimal a été relancé au XXe siècle avec l’introduction de l’analyse non standard et de l’analyse infinitésimale lisse , qui ont fourni des bases solides pour la manipulation des infinitésimaux. ^[34]

Calculs différentiels

Ligne tangente à ( x ₀ , f ( x ₀ )) . La dérivée f′ ( x ) d’une courbe en un point est la pente (élévation sur course) de la ligne tangente à cette courbe en ce point.

Le calcul différentiel est l’étude de la définition, des propriétés et des applications de la dérivée d’une fonction. Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation . Étant donné une fonction et un point dans le domaine, la dérivée à ce point est un moyen de coder le comportement à petite échelle de la fonction près de ce point. En trouvant la dérivée d’une fonction à chaque point de son domaine, il est possible de produire une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée ou simplement dérivée de la fonction d’origine. Formellement, la dérivée est un opérateur linéairequi prend une fonction en entrée et produit une seconde fonction en sortie. C’est plus abstrait que la plupart des processus étudiés en algèbre élémentaire, où les fonctions entrent généralement un nombre et en sortent un autre. Par exemple, si la fonction de doublement reçoit l’entrée trois, elle en sort six, et si la fonction d’élévation au carré reçoit l’entrée trois, elle en sort neuf. La dérivée, cependant, peut prendre la fonction d’élévation au carré comme entrée. Cela signifie que la dérivée prend toutes les informations de la fonction d’élévation au carré – telles que deux est envoyé à quatre, trois est envoyé à neuf, quatre est envoyé à seize, etc. – et utilise ces informations pour produire une autre fonction. La fonction produite en différenciant la fonction d’élévation au carré s’avère être la fonction de doublement. ^{[44] : 32}

En termes plus explicites, la “fonction de doublement” peut être désignée par g ( x ) = 2 x et la ” fonction d’élévation au carré ” par f ( x ) = x ² . La “dérivée” prend maintenant la fonction f ( x ) , définie par l’expression ” x ² “, comme entrée, c’est-à-dire toutes les informations, telles que deux sont envoyées à quatre, trois sont envoyées à neuf, quatre sont envoyées à seize, et ainsi de suite – et utilise ces informations pour produire une autre fonction, la fonction g ( x ) = 2 x , comme cela se révélera.

Dans la notation de Lagrange , le symbole d’un dérivé est une marque semblable à une apostrophe appelée prime . Ainsi, la dérivée d’une fonction appelée f est notée f′ , prononcé “f premier”. Par exemple, si f ( x ) = x ² est la fonction d’élévation au carré, alors f′ ( x ) = 2 x est sa dérivée (la fonction de doublement g ci-dessus).

Si l’entrée de la fonction représente le temps, la dérivée représente le changement par rapport au temps. Par exemple, si f est une fonction qui prend un temps en entrée et donne la position d’une balle à ce moment en sortie, alors la dérivée de f est la façon dont la position change dans le temps, c’est-à-dire que c’est la vitesse du Balle. ^{[44] : 18–20}

Si une fonction est linéaire (c’est-à-dire si le graphique de la fonction est une ligne droite), alors la fonction peut être écrite comme y = mx + b , où x est la variable indépendante, y est la variable dépendante, b est le y -ordonnée à l’origine, et :

m = rise run = change in y change in x = Δ y Δ x . {displaystyle m={frac {text{rise}}{text{run}}}={frac {{text{change in}}y}{{text{change in}}x}} ={frac {Delta y}{Delta x}}.}

Cela donne une valeur exacte pour la pente d’une droite. Cependant, si le graphique de la fonction n’est pas une ligne droite, la variation de y divisée par la variation de x varie. Les dérivés donnent un sens exact à la notion de variation de la production par rapport à la variation de l’intrant. Pour être concret, soit f une fonction, et fixons un point a dans le domaine de f . ( a , f ( a )) est un point sur le graphique de la fonction. Si h est un nombre proche de zéro, alors a + h est un nombre proche de a . Par conséquent, (a + h , f ( a + h )) est proche de ( a , f ( a )) . La pente entre ces deux points est

m = f ( a + h ) − f ( a ) ( a + h ) − a = f ( a + h ) − f ( a ) h . {displaystyle m={frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={frac {f(a+h)-f(a)}{h }}.}

Cette expression s’appelle un quotient différentiel . Une ligne passant par deux points sur une courbe est appelée une ligne sécante , donc m est la pente de la ligne sécante entre ( a , f ( a )) et ( a + h , f ( a + h )) . La sécante n’est qu’une approximation du comportement de la fonction au point a car elle ne tient pas compte de ce qui se passe entre a et a + h . Il n’est pas possible de découvrir le comportement à unen mettant h à zéro car cela nécessiterait de diviser par zéro , ce qui n’est pas défini. La dérivée est définie en prenant la limite lorsque h tend vers zéro, ce qui signifie qu’elle considère le comportement de f pour toutes les petites valeurs de h et extrait une valeur cohérente pour le cas où h est égal à zéro :

lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . {displaystyle lim _{hto 0}{f(a+h)-f(a) over {h}}.}

Géométriquement, la dérivée est la pente de la tangente au graphique de f en a . La droite tangente est une limite de droites sécantes comme la dérivée est une limite de quotients différentiels. Pour cette raison, la dérivée est parfois appelée la pente de la fonction f .

Voici un exemple particulier, la dérivée de la fonction d’élévation au carré à l’entrée 3. Soit f ( x ) = x ² la fonction d’élévation au carré.

La dérivée f′ ( x ) d’une courbe en un point est la pente de la droite tangente à cette courbe en ce point. Cette pente est déterminée en considérant la valeur limite des pentes des droites sécantes. Ici, la fonction impliquée (dessinée en rouge) est f ( x ) = x ³ − x . La tangente (en vert) qui passe par le point (−3/2, −15/8) a une pente de 23/4. Notez que les échelles verticale et horizontale de cette image sont différentes. f ′ ( 3 ) = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) = 6 {displaystyle {begin{aligned}f'(3)&=lim _{hto 0}{(3+h)^{2}-3^{2} over {h}}\& =lim _{hto 0}{9+6h+h^{2}-9 over {h}}\&=lim _{hto 0}{6h+h^{2} sur {h}}\&=lim _{hto 0}(6+h)\&=6end{aligned}}}

La pente de la tangente à la fonction d’équarrissage au point (3, 9) est 6, c’est-à-dire qu’elle monte six fois plus vite qu’elle ne va vers la droite. Le processus limite qui vient d’être décrit peut être effectué pour n’importe quel point du domaine de la fonction d’élévation au carré. Cela définit la fonction dérivée de la fonction d’élévation au carré ou simplement la dérivée de la fonction d’élévation au carré en abrégé. Un calcul similaire à celui ci-dessus montre que la dérivée de la fonction d’élévation au carré est la fonction de doublement.

Notation de Leibniz

Une notation courante, introduite par Leibniz, pour la dérivée dans l’exemple ci-dessus est

y = x 2 d y d x = 2 x . {displaystyle {begin{aligned}y&=x^{2}\{frac {dy}{dx}}&=2x.end{aligned}}}

Dans une approche basée sur les limites, le symbolemourir/dxdoit être interprété non pas comme le quotient de deux nombres mais comme un raccourci pour la limite calculée ci-dessus. Leibniz, cependant, voulait qu’il représente le quotient de deux nombres infiniment petits, dy étant le changement infiniment petit de y causé par un changement infiniment petit dx appliqué à x . On peut aussi penser à ré/dxcomme un opérateur de différenciation, qui prend une fonction en entrée et donne une autre fonction, la dérivée, en sortie. Par example:

d d x ( x 2 ) = 2 x . {displaystyle {frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}

Dans cet usage, le dx dans le dénominateur est lu comme “par rapport à x “. Un autre exemple de notation correcte pourrait être :

g ( t ) = t 2 + 2 t + 4 d d t g ( t ) = 2 t + 2 {displaystyle {begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\{d over dt}g(t)&=2t+2end{aligned}}}

Même lorsque le calcul est développé en utilisant des limites plutôt que des infinitésimaux, il est courant de manipuler des symboles comme dx et dy comme s’il s’agissait de nombres réels ; bien qu’il soit possible d’éviter de telles manipulations, elles sont parfois commodes d’un point de vue notationnel pour exprimer des opérations telles que la dérivée totale .

Calcul intégral

Le Calcul intégral est l’étude des définitions, des propriétés et des applications de deux concepts liés, l’ intégrale indéfinie et l’ intégrale définie . Le processus de recherche de la valeur d’une intégrale s’appelle l’intégration . En langage technique, le Calcul intégral étudie deux opérateurs linéaires liés .

L’ intégrale indéfinie , également appelée primitive , est l’opération inverse de la dérivée. F est une intégrale indéfinie de f lorsque f est une dérivée de F . (Cette utilisation de lettres minuscules et majuscules pour une fonction et son intégrale indéfinie est courante en calcul.)

L’ intégrale définie entre une fonction et sort un nombre, qui donne la somme algébrique des aires entre le graphique de l’entrée et l’ axe des x . La définition technique de l’intégrale définie implique la limite d’une somme d’aires de rectangles, appelée somme de Riemann . ^{[45] : 282}

Un exemple motivant est la distance parcourue en un temps donné. Si la vitesse est constante, seule la multiplication est nécessaire :

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e {displaystyle mathrm {Distance} =mathrm {Vitesse} cdot mathrm {Temps} }

Mais si la vitesse change, une méthode plus puissante pour trouver la distance est nécessaire. Une de ces méthodes consiste à approximer la distance parcourue en divisant le temps en plusieurs courts intervalles de temps, puis en multipliant le temps écoulé dans chaque intervalle par l’une des vitesses dans cet intervalle, puis en prenant la somme (une somme de Riemann ) de la distance approximative parcourue dans chaque intervalle. L’idée de base est que si seulement un court laps de temps s’écoule, la vitesse restera plus ou moins la même. Cependant, une somme de Riemann ne donne qu’une approximation de la distance parcourue. Nous devons prendre la limite de toutes ces sommes de Riemann pour trouver la distance exacte parcourue.

Vitesse constante L’intégration peut être considérée comme la mesure de l’aire sous une courbe, définie par f ( x ) , entre deux points (ici a et b ).

Lorsque la vitesse est constante, la distance totale parcourue sur l’intervalle de temps donné peut être calculée en multipliant la vitesse et le temps. Par exemple, parcourir une vitesse constante de 80 km/h pendant 3 heures donne une distance totale de 240 km. Dans le diagramme de gauche, lorsque la vitesse et le temps constants sont représentés graphiquement, ces deux valeurs forment un rectangle dont la hauteur est égale à la vitesse et la largeur est égale au temps écoulé. Par conséquent, le produit de la vitesse et du temps calcule également la zone rectangulaire sous la courbe de vitesse (constante). Cette relation entre l’aire sous une courbe et la distance parcourue peut être étendue à toute région de forme irrégulière présentant une vitesse fluctuante sur une période de temps donnée. Si f ( x )dans le diagramme de droite représente la vitesse telle qu’elle varie dans le temps, la distance parcourue (entre les temps représentés par a et b ) est l’aire de la région ombrée s .

Pour approximer cette zone, une méthode intuitive consisterait à diviser la distance entre a et b en un nombre de segments égaux, la longueur de chaque segment étant représentée par le symbole Δ x . Pour chaque petit segment, on peut choisir une valeur de la fonction f ( x ) . Appelez cette valeur h . Ensuite, l’aire du rectangle de base Δ x et de hauteur h donne la distance (temps Δ x multiplié par la vitesse h ) parcourue dans ce segment. Associée à chaque segment est la valeur moyenne de la fonction au-dessus, f ( x) = h . La somme de tous ces rectangles donne une approximation de la zone entre l’axe et la courbe, qui est une approximation de la distance totale parcourue. Une valeur plus petite pour Δ x donnera plus de rectangles et dans la plupart des cas une meilleure approximation, mais pour une réponse exacte, nous devons prendre une limite lorsque Δ x approche de zéro.

Le symbole de l’intégration est ∫ {style d’affichage int} , un S allongé (le S signifie “somme”). L’intégrale définie s’écrit :

∫ a b f ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx.}

et se lit “l’intégrale de a à b de f -de- x par rapport à x “. La notation de Leibniz dx vise à suggérer de diviser l’aire sous la courbe en un nombre infini de rectangles, de sorte que leur largeur Δ x devienne l’infiniment petit dx . ^{[44] : 44} Dans une formulation du calcul aux limites, la notation

∫ a b ⋯ d x {displaystyle int _{a}^{b}cdots ,dx}

doit être compris comme un opérateur qui prend une fonction en entrée et donne un nombre, l’aire, en sortie. Le différentiel de terminaison, dx , n’est pas un nombre et n’est pas multiplié par f ( x ) , bien que, servant de rappel de la définition de la limite Δ x , il puisse être traité comme tel dans les manipulations symboliques de l’intégrale. Formellement, le différentiel indique la variable sur laquelle la fonction est intégrée et sert de parenthèse fermante pour l’opérateur d’intégration.

L’intégrale indéfinie, ou primitive, s’écrit :

∫ f ( x ) d x . {displaystyle int f(x),dx.}

Les fonctions ne différant que par une constante ont la même dérivée, et on peut montrer que la primitive d’une fonction donnée est en fait une famille de fonctions ne différant que par une constante. ^{[45] : 326} Puisque la dérivée de la fonction y = x ² + C , où C est une constante quelconque, est y′ = 2 x , la primitive de cette dernière est donnée par :

∫ 2 x d x = x 2 + C . {displaystyle int 2x,dx=x^{2}+C.}

La constante C quelconque présente dans l’intégrale indéfinie ou primitive est connue sous le nom de constante d’intégration .

Théorème fondamental

Le théorème fondamental du calcul indique que la différenciation et l’intégration sont des opérations inverses. ^{[45] : 290} Plus précisément, elle relie les valeurs des primitives à des intégrales définies. Parce qu’il est généralement plus facile de calculer une primitive que d’appliquer la définition d’une intégrale définie, le théorème fondamental du calcul fournit un moyen pratique de calculer des intégrales définies. Il peut également être interprété comme une déclaration précise du fait que la différenciation est l’inverse de l’intégration.

Le théorème fondamental du calcul s’énonce : Si une fonction f est continue sur l’intervalle [ a , b ] et si F est une fonction dont la dérivée est f sur l’intervalle ( a , b ) , alors

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a).}

De plus, pour tout x dans l’intervalle ( a , b ) ,

d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) . {displaystyle {frac {d}{dx}}int _{a}^{x}f(t),dt=f(x).}

Cette prise de conscience, faite à la fois par Newton et Leibniz , a été la clé de la prolifération des résultats analytiques après la diffusion de leurs travaux. (La mesure dans laquelle Newton et Leibniz ont été influencés par leurs prédécesseurs immédiats, et en particulier ce que Leibniz a pu apprendre des travaux d’ Isaac Barrow , est difficile à déterminer grâce au conflit de priorité entre eux. ^[46] ) Le théorème fondamental fournit une algébrique méthode de calcul de nombreuses intégrales définies – sans effectuer de processus limites – en trouvant des formules pour les primitives . C’est aussi une solution prototype d’une équation différentielle. Les équations différentielles relient une fonction inconnue à ses dérivées et sont omniprésentes dans les sciences.

Applications

La spirale logarithmique de la coquille de Nautilus est une image classique utilisée pour représenter la croissance et les changements liés au calcul.

Le calcul est utilisé dans toutes les branches des sciences physiques, ^{[47] : 1} science actuarielle , informatique , statistiques , ingénierie , économie , commerce , médecine , démographie , et dans d’autres domaines partout où un problème peut être modélisé mathématiquement et où une solution optimale est voulu. Cela permet de passer de taux de changement (non constants) au changement total ou vice versa, et souvent, en étudiant un problème, nous connaissons l’un et essayons de trouver l’autre. ^[48]Le calcul peut être utilisé en conjonction avec d’autres disciplines mathématiques. Par exemple, il peut être utilisé avec l’algèbre linéaire pour trouver l’approximation linéaire “la mieux adaptée” pour un ensemble de points dans un domaine. Ou, il peut être utilisé dans la théorie des probabilités pour déterminer la valeur d’espérance d’une variable aléatoire continue étant donné une fonction de densité de probabilité . ^{[49] : 37} En géométrie analytique , l’étude des graphes de fonctions, le calcul sert à trouver les points hauts et les points bas (maxima et minima), la pente, la concavité et les points d’inflexion. Le calcul est également utilisé pour trouver des solutions approximatives aux équations; en pratique, c’est le moyen standard de résoudre des équations différentielles et de rechercher des racines dans la plupart des applications. Des exemples sont des méthodes telles que la méthode de Newton , l’ itération en virgule fixe et l’approximation linéaire . Par exemple, les engins spatiaux utilisent une variante de la méthode d’Euler pour se rapprocher des trajectoires courbes dans des environnements d’apesanteur.

La physique utilise particulièrement le calcul différentiel ; tous les concepts de la mécanique classique et de l’électromagnétisme sont liés par le calcul. La masse d’un objet de densité connue , le moment d’inertie des objets et les énergies potentielles dues aux forces gravitationnelles et électromagnétiques peuvent tous être trouvés par l’utilisation du calcul. Un exemple de l’utilisation du calcul en mécanique est la deuxième loi du mouvement de Newton , qui stipule que la dérivée de la quantité de mouvement d’un objet par rapport au temps est égale à la force nettedessus. Alternativement, la deuxième loi de Newton peut être exprimée en disant que la force nette est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération , qui est la dérivée temporelle de la vitesse et donc la seconde dérivée temporelle de la position spatiale. En partant de la connaissance de l’accélération d’un objet, nous utilisons le calcul pour dériver sa trajectoire. ^[50]

La théorie de l’électromagnétisme de Maxwell et la théorie de la relativité générale d’ Einstein sont également exprimées dans le langage du calcul différentiel. ^{[51] [52] : 52–55 La} chimie utilise aussi le calcul dans la détermination des vitesses de réaction ^{[53] : 599} et dans l’étude de la désintégration radioactive. ^{[53] : 814} En biologie, la dynamique des populations commence par les taux de reproduction et de mortalité pour modéliser les changements de population. ^{[54] [55] : 631}

Le théorème de Green , qui donne la relation entre une ligne intégrale autour d’une simple courbe fermée C et une double intégrale sur la région plane D délimitée par C, est appliqué dans un instrument appelé planimètre , qui est utilisé pour calculer l’aire d’un plat surface sur un dessin. ^[56] Par exemple, il peut être utilisé pour calculer la superficie occupée par un parterre de fleurs ou une piscine de forme irrégulière lors de la conception de l’aménagement d’une propriété.

Dans le domaine de la médecine, le calcul peut être utilisé pour trouver l’angle de ramification optimal d’un vaisseau sanguin afin de maximiser le débit. ^[57] Le calcul peut être appliqué pour comprendre à quelle vitesse un médicament est éliminé d’un corps ou à quelle vitesse une tumeur cancéreuse se développe. ^[58]

En économie, le calcul permet de déterminer le profit maximal en fournissant un moyen de calculer facilement à la fois le coût marginal et le revenu marginal . ^{[59] : 387}

Variétés

Au fil des ans, de nombreuses reformulations du calcul ont été étudiées à des fins différentes.

Calcul non standard

Les calculs imprécis avec des infinitésimaux ont été largement remplacés par la définition rigoureuse (ε, δ) de la limite à partir des années 1870. Pendant ce temps, les calculs avec des infinitésimaux persistaient et conduisaient souvent à des résultats corrects. Cela a conduit Abraham Robinson à rechercher s’il était possible de développer un système de nombres avec des quantités infinitésimales sur lesquelles les théorèmes du calcul étaient encore valables. En 1960, s’appuyant sur les travaux d’ Edwin Hewitt et de Jerzy Łoś , il réussit à développer une analyse non standard . La théorie de l’analyse non standard est suffisamment riche pour être appliquée dans de nombreuses branches des mathématiques. En tant que tels, les livres et articles consacrés uniquement aux théorèmes traditionnels du calcul portent souvent le titrecalcul non standard .

Analyse infinitésimale fluide

C’est une autre reformulation du calcul en termes d’ infiniment petits . Basé sur les idées de FW Lawvere et employant les méthodes de la théorie des catégories , il considère toutes les fonctions comme étant continues et incapables d’être exprimées en termes d’ entités discrètes . Un aspect de cette formulation est que la loi du tiers exclu ne tient pas dans cette formulation. ^[34]

Analyse constructive

Les mathématiques constructives sont une branche des mathématiques qui insiste sur le fait que les preuves de l’existence d’un nombre, d’une fonction ou d’un autre objet mathématique doivent donner une construction de l’objet. En tant que telles, les mathématiques constructives rejettent également la loi du tiers exclu . Les reformulations du calcul dans un cadre constructif font généralement partie du sujet de l’ analyse constructive . ^[34]

Voir également

Listes

• Glossaire du calcul
• Liste des sujets de calcul
• Liste des dérivées et intégrales dans les calculs alternatifs
• Liste des identités de différenciation
• Publications en calcul
• Tableau des intégrales

Autres sujets connexes

• Calcul avec polynômes
• Analyse complexe
• Géométrie différentielle
• Calcul élémentaire : une approche infinitésimale
• Calcul discret
• Équation intégrale
• Calcul à variables multiples
• Précalcul ( enseignement des mathématiques )
• Intégrale du produit
• Calcul stochastique

Références

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• Ressources de Wikiversité

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• Weisstein, Eric W. “Calcul” . MathWorld .
• Sujets sur le calcul à PlanetMath .
• Calculus Made Easy (1914) par Silvanus P. Thompson Texte intégral en PDF
• Calculus sur In Our Time à la BBC
• Calculus.org : La page Calculus de l’Université de Californie, Davis – contient des ressources et des liens vers d’autres sites
• Les premières utilisations connues de certains mots de mathématiques : calcul et analyse
• Le rôle du calcul dans les mathématiques universitaires d’ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus du Massachusetts Institute of Technology
• Calcul infinitésimal – un article sur son développement historique, dans Encyclopedia of Mathematics , éd. Michiel Hazewinkel .
• Daniel Kleitman, MIT. “Calcul pour débutants et artistes” .
• Matériel de formation en calcul sur imomath.com
• (en anglais et en arabe) L’Excursion du Tournesol , 1772