Arithmétique

L’arithmétique (du grec ancien ἀριθμός ( arithmós ) ‘nombre’, et τική [ τέχνη ] ( tikḗ [tékhnē] ) ‘art, métier’) est Une partie élémentaire des mathématiques qui consiste en l’étude des propriétés des opérations traditionnelles sur les nombres — addition , soustraction , multiplication , division , exponentiation et extraction de racines . Au XIXe siècle, le mathématicien italien Giuseppe Peano a formalisé l’arithmétique avec son Les axiomes de Peano , qui sont aujourd’hui très importants dans le domaine de la logique mathématique .

Tables arithmétiques pour enfants, Lausanne, 1835

Histoire

La préhistoire de l’arithmétique est limitée à un petit nombre d’artefacts, qui peuvent indiquer la conception de l’addition et de la soustraction, le plus connu étant l’ os d’Ishango d’ Afrique centrale , datant d’environ 20 000 à 18 000 avant JC, bien que son interprétation soit contestée. ^[1]

Les premiers documents écrits indiquent que les Égyptiens et les Babyloniens utilisaient toutes les opérations arithmétiques élémentaires , à savoir l’addition, la soustraction, la multiplication et la division, dès 2000 av. Ces artefacts ne révèlent pas toujours le processus spécifique utilisé pour résoudre les problèmes, mais les caractéristiques du système numérique particulier influencent fortement la complexité des méthodes. Le système hiéroglyphique des chiffres égyptiens , comme les derniers chiffres romains , est issu des marques de pointage utilisées pour le comptage. Dans les deux cas, cette origine a donné des valeurs qui utilisaient Une base décimale , mais n’incluaient pas de notation positionnelle. Les calculs complexes avec des chiffres romains nécessitaient l’assistance d’Une planche à compter (ou du boulier romain ) pour obtenir les résultats.

Les premiers systèmes de numération qui incluaient la notation positionnelle n’étaient pas décimaux, y compris le système sexagésimal (base 60) pour les Chiffres babyloniens et le système vigésimal (base 20) qui définissait les chiffres mayas . En raison de ce concept de valeur de position, la possibilité de réutiliser les mêmes chiffres pour différentes valeurs a contribué à des méthodes de calcul plus simples et plus efficaces.

Le développement historique continu de l’arithmétique moderne commence avec la civilisation hellénistique de la Grèce antique, bien qu’elle soit née bien plus tard que les exemples babyloniens et égyptiens. Avant les travaux d’ Euclide vers 300 avant JC, les études grecques en mathématiques se chevauchaient avec les croyances philosophiques et mystiques. Par exemple, Nicomaque a résumé le point de vue de l’approche pythagoricienne antérieure des nombres et de leurs relations les uns avec les autres, dans son Introduction à l’arithmétique .

Les chiffres grecs étaient utilisés par Archimède , Diophante et d’autres dans Une notation positionnelle pas très différente de la notation moderne. Les anciens Grecs n’avaient pas de symbole pour Zéro jusqu’à la période hellénistique, et ils utilisaient trois ensembles distincts de symboles comme chiffres : un ensemble pour la place des unités, un pour la place des dizaines et un pour les centaines. Pour la place des milliers, ils réutiliseraient les symboles de la place des unités, et ainsi de suite. Leur algorithme d’addition était identique à la méthode moderne et leur algorithme de multiplication n’était que légèrement différent. Leur algorithme de division longue était le même, et l’ algorithme de racine carrée chiffre par chiffre, populairement utilisé aussi récemment qu’au 20ème siècle, était connu d’Archimède (qui l’a peut-être inventé). Il l’a préférée à la méthode d’approximations successives de Hero car, Une fois calculée, un chiffre ne change pas et les racines carrées des carrés parfaits, comme 7485696, se terminent immédiatement par 2736. Pour les nombres avec Une partie fractionnaire, comme 546,934, ils ont utilisé puissances négatives de 60 au lieu de puissances négatives de 10 pour la partie fractionnaire 0,934. ^[2]

Les anciens Chinois avaient des études arithmétiques avancées datant de la dynastie Shang et se poursuivant à travers la dynastie Tang, des nombres de base à l’algèbre avancée. Les anciens Chinois utilisaient Une notation positionnelle similaire à celle des Grecs. Puisqu’il leur manquait également un symbole pour Zéro , ils avaient un ensemble de symboles pour la place des unités et un second ensemble pour la place des dizaines. Pour la place des centaines, ils ont ensuite réutilisé les symboles de la place des unités, et ainsi de suite. Leurs symboles étaient basés sur les anciennes réglettes de comptage . L’heure exacte à laquelle les Chinois ont commencé à calculer avec la représentation positionnelle est inconnue, bien que l’on sache que l’adoption a commencé avant 400 av. ^[3]Les anciens Chinois ont été les premiers à découvrir, comprendre et appliquer de manière significative les nombres négatifs. Ceci est expliqué dans les Neuf chapitres sur l’art mathématique ( Jiuzhang Suanshu ), écrits par Liu Hui et datant du IIe siècle av.

Le développement progressif du système numérique hindou-arabe a conçu indépendamment le concept de valeur de position et la notation de position, qui combinaient les méthodes de calcul les plus simples avec Une base décimale et l’utilisation d’un chiffre représentant 0 . Cela a permis au système de représenter de manière cohérente à la fois les grands et les petits nombres entiers – Une approche qui a finalement remplacé tous les autres systèmes. Au début du 6ème siècle après JC, le mathématicien indien Aryabhata a incorporé Une version existante de ce système dans son travail et a expérimenté différentes notations. Au 7ème siècle, Brahmaguptaa établi l’utilisation de 0 comme nombre séparé et a déterminé les résultats de la multiplication, de la division, de l’addition et de la soustraction de Zéro et de tous les autres nombres, à l’exception du résultat de la division par Zéro . Son contemporain, l’ évêque syriaque Severus Sebokht (650 après JC) a déclaré: “Les Indiens possèdent Une méthode de calcul qu’aucun mot ne peut assez louer. Leur système rationnel de mathématiques, ou de leur méthode de calcul. Je veux dire le système utilisant neuf symboles.” ^[4] Les Arabes ont également appris cette nouvelle méthode et l’ont appelée hesab .

Stepped Reckoner de Leibniz a été la première calculatrice capable d’effectuer les quatre opérations arithmétiques.

Bien que le Codex Vigilanus ait décrit Une première forme de chiffres arabes (en omettant le 0) en 976 après JC, Léonard de Pise ( Fibonacci ) était principalement responsable de la diffusion de leur utilisation dans toute l’Europe après la publication de son livre Liber Abaci en 1202. Il a écrit : “Le méthode des Indiens (latin Modus Indorum ) surpasse toute méthode connue pour calculer. C’est Une méthode merveilleuse. Ils font leurs calculs en utilisant neuf chiffres et le symbole Zéro “. ^[5]

Au Moyen Âge, l’arithmétique était l’un des sept Arts libéraux enseignés dans les universités.

L’épanouissement de l’ algèbre dans le monde islamique Médiéval , ainsi que dans l’ Europe de la Renaissance , était Une conséquence de l’énorme simplification du calcul par la notation décimale .

Différents types d’outils ont été inventés et largement utilisés pour faciliter les calculs numériques. Avant la Renaissance, il s’agissait de différents types d’ abaques . Des exemples plus récents incluent les règles à calcul , les nomogrammes et les calculatrices mécaniques , comme la calculatrice de Pascal . À l’heure actuelle, ils ont été supplantés par les calculatrices électroniques et les ordinateurs .

Opérations arithmétiques

Les opérations arithmétiques de base sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division, bien que l’arithmétique comprenne également des opérations plus avancées, telles que les manipulations de pourcentages , ^[6] les racines carrées , l’exponentiation , les fonctions logarithmiques , et même les fonctions trigonométriques , dans la même veine que les logarithmes ( prosthahérèse ). Les expressions arithmétiques doivent être évaluées selon la séquence d’opérations prévue. Il existe plusieurs méthodes pour spécifier cela, soit – la plus courante, avec la notation infixe – en utilisant explicitement des parenthèses et en s’appuyant sur des règles de priorité , soit en utilisant un préfixe oula notation postfixée , qui fixe de manière unique l’ordre d’exécution par eux-mêmes. Tout ensemble d’objets sur lequel les quatre opérations arithmétiques (sauf la division par Zéro ) peuvent être effectuées, et où ces quatre opérations obéissent aux lois habituelles (y compris la distributivité), est appelé un champ . ^[7]

Une addition

Addition, désignée par le symbole + {displaystyle +} , est l’opération la plus élémentaire de l’arithmétique. Dans sa forme simple, l’addition combine deux nombres, les addends ou termes , en un seul nombre, la somme des nombres (comme 2 + 2 = 4 ou 3 + 5 = 8 ).

L’ajout d’un nombre fini de nombres peut être considéré comme Une simple addition répétée; cette procédure est connue sous le nom de sommation , un terme également utilisé pour désigner la définition de “l’addition d’un nombre infini de nombres” dans Une série infinie . L’addition répétée du nombre 1 est la forme de comptage la plus basique ; le résultat de l’ajout de 1 est généralement appelé le successeur du nombre d’origine.

L’addition est commutative et associative , donc l’ordre dans lequel un nombre fini de termes sont ajoutés n’a pas d’importance.

Le nombre 0 a la propriété que, lorsqu’il est ajouté à n’importe quel nombre, il donne ce même nombre ; c’est donc l’ élément d’identité de l’addition, ou l’ identité additive .

Pour tout nombre x , il existe un nombre noté – x , appelé l’ opposé de x , tel que x + (– x ) = 0 et (– x ) + x = 0 . Ainsi, l’opposé de x est l’ inverse de x par rapport à l’addition, ou l’ inverse additif de x . Par exemple, l’opposé de 7 est −7 , puisque 7 + (−7) = 0 .

L’addition peut également être interprétée géométriquement, comme dans l’exemple suivant. Si nous avons deux bâtons de longueurs 2 et 5 , alors, si les bâtons sont alignés l’un après l’autre, la longueur du bâton combiné devient 7 , puisque 2 + 5 = 7 .

Soustraction

Soustraction, désignée par le symbole − {displaystyle -} , est l’opération inverse de l’addition. La soustraction trouve la différence entre deux nombres, le diminutif moins le soustrait : D = M − S . En recourant à l’addition précédemment établie, c’est-à-dire que la différence est le nombre qui, ajouté au sous-traitant, donne le diminutif : D + S = M . ^[8]

Pour les arguments positifs M et S ont :

Si la diminution est plus grande que la soustraction, la différence D est positive. Si la diminution est plus petite que la soustraction, la différence D est négative.

Dans tous les cas, si minuend et soustrahend sont égaux, la différence D = 0.

La soustraction n’est ni commutative ni associative . Pour cette raison, la construction de cette opération inverse dans l’algèbre moderne est souvent écartée au profit de l’introduction du concept d’éléments inverses (comme esquissé sous § Addition ), où la soustraction est considérée comme l’ajout de l’inverse additif du soustrait au diminuend, que est, a – b = a + (- b ) . Le prix immédiat de l’abandon de l’opération binaire de soustraction est l’introduction de l’ opération unaire (triviale) , délivrant l’inverse additif pour tout nombre donné, et perdant l’accès immédiat à la notion de différence, ce qui est potentiellement trompeur lorsqu’il s’agit d’arguments négatifs.

Pour toute représentation de nombres, il existe des méthodes de calcul de résultats, dont certaines sont particulièrement avantageuses en exploitant des procédures, existant pour Une opération, par de petites modifications également pour d’autres. Par exemple, les ordinateurs numériques peuvent réutiliser les circuits d’addition existants et économiser des circuits supplémentaires pour implémenter Une soustraction, en utilisant la méthode du complément à deux pour représenter les inverses additifs, qui est extrêmement facile à implémenter dans le matériel ( négation ). Le compromis est la réduction de moitié de la plage de numéros pour Une longueur de mot fixe.

Une méthode anciennement répandue pour obtenir un montant de monnaie correct, connaissant les montants dus et rendus, est la méthode de comptage , qui ne génère pas explicitement la valeur de la différence. Supposons qu’un montant P soit donné afin de payer le montant requis Q , avec P supérieur à Q . Plutôt que d’effectuer explicitement la soustraction P – Q = C et de compter ce montant C en monnaie, l’argent est compté en commençant par le successeur de Q , et en continuant dans les étapes de la monnaie, jusqu’à Pest atteint. Bien que le montant décompté doive être égal au résultat de la soustraction P − Q , la soustraction n’a jamais vraiment été faite et la valeur de P − Q n’est pas fournie par cette méthode.

Multiplication

Multiplication, indiquée par les symboles × { style d’affichage fois } ou alors ⋅ {displaystyle cdot } , est la deuxième opération de base de l’arithmétique. La multiplication combine également deux nombres en un seul nombre, le produit . Les deux nombres originaux sont appelés le multiplicateur et le multiplicande , la plupart du temps les deux sont simplement appelés facteurs .

La multiplication peut être considérée comme Une opération de mise à l’échelle. Si les nombres sont imaginés comme étant alignés, la multiplication par un nombre supérieur à 1, disons x , revient à étirer tout de 0 uniformément, de telle sorte que le nombre 1 lui-même est étiré jusqu’à l’endroit où x était. De même, multiplier par un nombre inférieur à 1 peut être imaginé comme se serrer vers 0, de telle sorte que 1 va au multiplicande.

Une autre vision de la multiplication des nombres entiers (extensible aux rationnels mais peu accessible aux nombres réels) consiste à la considérer comme Une addition répétée. Par example. 3 × 4 correspond soit à Ajouter 3 fois un 4 , soit 4 fois un 3 , donnant le même résultat. Il existe différentes opinions sur l’avantage de ces paradigmes dans l’enseignement des mathématiques.

La multiplication est commutative et associative ; de plus, il est distributif sur l’addition et la soustraction. L’ identité multiplicative est 1, car la multiplication de n’importe quel nombre par 1 donne ce même nombre. L’ inverse multiplicatif de tout nombre sauf 0 est l’ inverse de ce nombre, car la multiplication de l’inverse de tout nombre par le nombre lui-même donne l’identité multiplicative 1 . 0 est le seul nombre sans inverse multiplicatif, et le résultat de la multiplication de n’importe quel nombre par 0 est à nouveau 0. On dit que 0 n’est pas contenu dans le groupe multiplicatifdes nombres.

Le produit de a et b s’écrit a × b ou a · b . Lorsque a ou b sont des expressions qui ne s’écrivent pas simplement avec des chiffres, elles s’écrivent aussi par simple juxtaposition : ab . Dans les langages de programmation informatique et les progiciels (dans lesquels on ne peut utiliser que des caractères normalement présents sur un clavier), il est souvent écrit avec un astérisque : a * b.

Les algorithmes mettant en œuvre l’opération de multiplication pour diverses représentations de nombres sont de loin plus coûteux et laborieux que ceux d’addition. Ceux accessibles pour le calcul manuel reposent soit sur la décomposition des facteurs en valeurs de position uniques et sur l’application d’additions répétées, soit sur l’utilisation de tableaux ou de règles à calcul , mappant ainsi la multiplication à l’addition et vice versa. Ces méthodes sont obsolètes et sont progressivement remplacées par des appareils mobiles. Les ordinateurs utilisent divers algorithmes sophistiqués et hautement optimisés pour implémenter la multiplication et la division pour les différents formats de nombres pris en charge dans leur système.

Division

Division, indiquée par les symboles ÷ { style d’affichage div } ou alors / {displaystyle /} , est essentiellement l’opération inverse de la multiplication. La division trouve le quotient de deux nombres, le dividende divisé par le diviseur . Selon les règles communes, le dividende divisé par Zéro n’est pas défini. Pour les nombres positifs distincts, si le dividende est supérieur au diviseur, le quotient est supérieur à 1, sinon il est inférieur ou égal à 1 (Une règle similaire s’applique pour les nombres négatifs). Le quotient multiplié par le diviseur donne toujours le dividende.

La division n’est ni commutative ni associative. Ainsi, comme expliqué dans § Soustraction , la construction de la division dans l’algèbre moderne est écartée au profit de la construction des éléments inverses par rapport à la multiplication, comme introduit dans § Multiplication . Par conséquent, la division est la multiplication du dividende avec l’ inverse du diviseur comme facteurs, c’est-à-dire a ÷ b = a ×1/b.

Dans les nombres naturels, il existe également Une notion différente mais connexe appelée division euclidienne , qui produit deux nombres après avoir “divisé” un N naturel (numérateur) par un D naturel (dénominateur): d’abord un Q naturel (quotient), et ensuite un naturel R (reste) tel que N = D × Q + R et 0 ≤ R < Q .

Dans certains contextes, y compris la programmation informatique et l’arithmétique avancée, la division est étendue avec Une autre sortie pour le reste. Ceci est souvent traité comme Une opération distincte, l’ opération Modulo , désignée par le symbole % {displaystyle%} ou le mot m o d {displaystyle mod} , bien que parfois Une deuxième sortie pour Une opération “divmod”. ^[9] Dans les deux cas, l’arithmétique modulaire a Une variété de cas d’utilisation. Différentes implémentations de la division (planchée, tronquée, euclidienne, etc.) correspondent à différentes implémentations du module.

Théorème fondamental de l’arithmétique

Le théorème fondamental de l’arithmétique stipule que tout entier supérieur à 1 a Une factorisation première unique (Une représentation d’un nombre comme produit de facteurs premiers), à l’exclusion de l’ordre des facteurs. Par exemple, 252 n’a qu’Une seule factorisation première :

252 = 2 ² × 3 ² × 7 ¹

Les éléments d’Euclide ont introduit ce théorème pour la première fois et en ont donné Une preuve partielle (appelée lemme d’Euclide ). Le théorème fondamental de l’arithmétique a été prouvé pour la première fois par Carl Friedrich Gauss .

Le théorème fondamental de l’arithmétique est l’Une des raisons pour lesquelles 1 n’est pas considéré comme un nombre premier . D’autres raisons incluent le crible d’Eratosthène et la définition d’un nombre premier lui-même (un nombre naturel supérieur à 1 qui ne peut pas être formé en multipliant deux nombres naturels plus petits.).

Arithmétique décimale

La représentation décimale se réfère exclusivement, dans l’usage courant, au système de numération écrite employant des chiffres arabes comme chiffres pour Une notation positionnelle de base 10 (« décimale ») ; cependant, tout système de numération basé sur des puissances de 10, par exemple, les chiffres grecs , cyrilliques , romains ou chinois peut conceptuellement être décrit comme “notation décimale” ou “représentation décimale”.

Les méthodes modernes pour quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) ont d’abord été conçues par Brahmagupta de l’Inde. Cela était connu pendant l’Europe médiévale sous le nom de “Modus Indorum” ou Méthode des Indiens. La notation positionnelle (également connue sous le nom de “notation de valeur de position”) fait référence à la représentation ou au codage de nombres utilisant le même symbole pour les différents ordres de grandeur (par exemple, la “place des unités”, la “place des dizaines”, la “place des centaines”) et, avec un point de base , en utilisant ces mêmes symboles pour représenter des fractions (par exemple, la “dixième place”, la “centième place”). Par exemple, 507,36 désigne 5 centaines (10 ² ),⁰ ), plus 3 dixièmes (10 ^-1 ) plus 6 centièmes (10 ^-2 ).

Le concept de 0 en tant que nombre comparable aux autres chiffres de base est essentiel à cette notation, tout comme le concept d’utilisation de 0 comme espace réservé, et comme l’est la définition de la multiplication et de l’addition avec 0. L’utilisation de 0 comme espace réservé et , par conséquent, l’utilisation d’Une notation positionnelle est attestée pour la première fois dans le texte jaïn d’ Inde intitulé le Lokavibhâga , daté de 458 après JC et ce n’est qu’au début du XIIIe siècle que ces concepts, transmis via l’ érudition du monde arabe , ont été introduits en Europe par Fibonacci ^[10] en utilisant le système numérique hindou-arabe.

L’algorisme comprend l’ensemble des règles permettant d’effectuer des calculs arithmétiques à l’aide de ce type d’écriture numérique. Par exemple, l’addition produit la somme de deux nombres arbitraires. Le résultat est calculé par l’addition répétée de chiffres uniques de chaque nombre qui occupe la même position, en procédant de droite à gauche. Un tableau d’addition avec dix lignes et dix colonnes affiche toutes les valeurs possibles pour chaque somme. Si Une somme individuelle dépasse la valeur 9, le résultat est représenté par deux chiffres. Le chiffre le plus à droite est la valeur de la position actuelle, et le résultat de l’addition ultérieure des chiffres à gauche augmente de la valeur du deuxième chiffre (le plus à gauche), qui est toujours un (sinon Zéro). Cet ajustement est appelé report de la valeur 1.

Le processus de multiplication de deux nombres arbitraires est similaire au processus d’addition. Une table de multiplication avec dix lignes et dix colonnes répertorie les résultats pour chaque paire de chiffres. Si un produit individuel d’Une paire de chiffres dépasse 9, l’ ajustement de report augmente le résultat de toute multiplication ultérieure des chiffres vers la gauche par Une valeur égale au deuxième chiffre (le plus à gauche), qui est toute valeur comprise entre 1 et 8 ( 9 × 9 = 81 ). Des étapes supplémentaires définissent le résultat final.

Des techniques similaires existent pour la soustraction et la division.

La création d’un processus correct de multiplication repose sur la relation entre les valeurs des chiffres adjacents. La valeur d’un seul chiffre dans un chiffre dépend de sa position. De plus, chaque position à gauche représente Une valeur dix fois supérieure à la position à droite. En termes mathématiques, l’ exposant de la base (base) de 10 augmente de 1 (vers la gauche) ou diminue de 1 (vers la droite). Par conséquent, la valeur de tout chiffre arbitraire est multipliée par Une valeur de la forme 10 ⁿ avec un entier n . La liste des valeurs correspondant à toutes les positions possibles pour un seul chiffre s’écrit {…, 10 ² , 10, 1, 10 ⁻¹ , 10 ⁻² , …}.

La multiplication répétée de n’importe quelle valeur de cette liste par 10 produit Une autre valeur dans la liste. En terminologie mathématique, cette caractéristique est définie comme fermeture , et la liste précédente est décrite comme fermée sous multiplication . C’est la base pour trouver correctement les résultats de la multiplication en utilisant la technique précédente. Ce résultat d’apprentissage est un exemple des utilisations de la théorie des nombres .

Arithmétique des unités composées

L’arithmétique unitaire composée ^[11] est l’application d’opérations arithmétiques à des quantités de bases mixtes telles que les pieds et les pouces; gallons et pintes ; livres, shillings et pence ; etc. Avant les systèmes décimaux de monnaie et d’unités de mesure, l’arithmétique des unités composées était largement utilisée dans le commerce et l’industrie.

Opérations arithmétiques de base

Les techniques utilisées dans l’arithmétique des unités composées ont été développées au cours de nombreux siècles et sont bien documentées dans de nombreux manuels dans de nombreuses langues différentes. ^{[12] [13] [14] [15]} En plus des fonctions arithmétiques de base rencontrées en arithmétique décimale, l’arithmétique des unités composées emploie trois autres fonctions :

Réduction , dans laquelle Une quantité composée est réduite à Une seule quantité, par exemple, conversion d’Une distance exprimée en yards, pieds et pouces en Une distance exprimée en pouces. ^[16]
L’expansion , la fonction inverse de la réduction, est la conversion d’Une quantité exprimée en Une seule unité de mesure en Une unité composée, telle que l’expansion de 24 oz à 1 lb 8 oz .
La normalisation est la conversion d’un ensemble d’unités composées en Une forme standard, par exemple, la réécriture de ” 1 pi 13 po ” en ” 2 pi 1 po “.

La connaissance de la relation entre les diverses unités de mesure, leurs multiples et leurs sous-multiples constitue Une partie essentielle de l’arithmétique des unités composées.

Principes de l’arithmétique des unités composées

Il existe deux approches de base pour l’arithmétique des unités composées :

Méthode de réduction-expansion où toutes les variables unitaires composées sont réduites à des variables unitaires uniques, le calcul effectué et le résultat reconduit en unités composées. Cette approche est adaptée aux calculs automatisés. Un exemple typique est la gestion du temps par Microsoft Excel où tous les intervalles de temps sont traités en interne sous forme de jours et de fractions décimales d’un jour.
Méthode de normalisation continue dans laquelle chaque unité est traitée séparément et le problème est normalisé en continu au fur et à mesure que la solution se développe. Cette approche, qui est largement décrite dans les textes classiques, est la mieux adaptée aux calculs manuels. Un exemple de la méthode de normalisation continue appliquée à l’addition est présenté ci-dessous.

L’opération d’addition s’effectue de droite à gauche ; dans ce cas, les pence sont traités en premier, puis les shillings suivis des livres. Les chiffres sous la “ligne de réponse” sont des résultats intermédiaires.

Le total dans la colonne pence est 25. Puisqu’il y a 12 sous dans un shilling, 25 est divisé par 12 pour donner 2 avec un reste de 1. La valeur “1” est alors écrite dans la ligne de réponse et la valeur “2” reporté dans la colonne des shillings. Cette opération est répétée en utilisant les valeurs de la colonne des shillings, avec l’étape supplémentaire consistant à Ajouter la valeur qui a été reportée de la colonne des centimes. Le total intermédiaire est divisé par 20 car il y a 20 shillings dans Une livre. La colonne des livres est ensuite traitée, mais comme les livres sont la plus grande unité prise en compte, aucune valeur n’est reportée de la colonne des livres.

Par souci de simplicité, l’exemple choisi n’avait pas de farthings.

Opérations en pratique

Une balance calibrée en unités impériales avec un affichage de coût associé.

Au cours des XIXe et XXe siècles, diverses aides ont été développées pour faciliter la manipulation des unités composées, en particulier dans les applications commerciales. Les aides les plus courantes étaient les caisses mécaniques qui ont été adaptées dans des pays comme le Royaume-Uni pour accueillir des livres, des shillings, des sous et des farthings, et des calculateurs prêts à l’emploi , qui sont des livres destinés aux commerçants qui répertorient les résultats de divers calculs de routine tels que les pourcentages ou multiples de diverses sommes d’argent. Un livret typique ^[17] qui comptait 150 pages tabulait les multiples “de un à dix mille aux différents prix d’un farthing à Une livre”.

La lourdeur de l’arithmétique des unités composées est reconnue depuis de nombreuses années – en 1586, le mathématicien flamand Simon Stevin publie Une petite brochure intitulée De Thiende (“le dixième”) ^[18] dans laquelle il déclare l’introduction universelle de la monnaie décimale, des mesures , et les pondérations ne sont qu’Une question de temps. À l’ère moderne, de nombreux programmes de conversion, tels que celui inclus dans la calculatrice du système d’exploitation Microsoft Windows 7, affichent les unités composées dans un format décimal réduit plutôt que d’utiliser un format étendu (par exemple, “2,5 pieds” est affiché plutôt que “2 pieds 6 dans” ).

La théorie du nombre

Jusqu’au XIXe siècle, la théorie des nombres était synonyme d'”arithmétique”. Les problèmes abordés étaient directement liés aux opérations de base et concernaient la primalité , la divisibilité , et la résolution d’équations en nombres entiers , comme le dernier théorème de Fermat . Il est apparu que la plupart de ces problèmes, bien que très élémentaires à énoncer, sont très difficiles et ne peuvent être résolus sans des mathématiques très approfondies impliquant des concepts et des méthodes de nombreuses autres branches des mathématiques. Cela a conduit à de nouvelles branches de la théorie des nombres telles que la théorie analytique des nombres , la théorie algébrique des nombres , la géométrie diophantienne et la géométrie algébrique arithmétique .. La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat est un exemple typique de la nécessité de méthodes sophistiquées, qui vont bien au-delà des méthodes classiques de l’arithmétique, pour résoudre des problèmes qui peuvent être énoncés en arithmétique élémentaire.

L’arithmétique en éducation

L’enseignement primaire en mathématiques met souvent l’accent sur les algorithmes pour l’arithmétique des nombres naturels , des nombres entiers , des fractions et des nombres décimaux (en utilisant le système décimal de valeur de position). Cette étude est parfois connue sous le nom d’algorisme.

La difficulté et l’apparence non motivée de ces algorithmes ont longtemps conduit les éducateurs à remettre en question ce programme, préconisant l’enseignement précoce d’idées mathématiques plus centrales et intuitives. Un mouvement notable dans cette direction a été le New Math des années 1960 et 1970, qui a tenté d’enseigner l’arithmétique dans l’esprit du développement axiomatique à partir de la théorie des ensembles, un écho de la tendance dominante des mathématiques supérieures. ^[19]

En outre, l’arithmétique était utilisée par les érudits islamiques afin d’enseigner l’application des règles relatives à la Zakat et à l’Irth . Cela a été fait dans un livre intitulé Le meilleur de l’arithmétique par Abd-al-Fattah-al-Dumyati. ^[20]

Le livre commence par les fondements des mathématiques et procède à son application dans les chapitres suivants.

Voir également

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Portail des mathématiques

Listes de sujets mathématiques
Aperçu de l’arithmétique
Règle à calcul

Rubriques connexes

Addition de nombres naturels
Inverse additif
Codage arithmétique
Moyenne arithmétique
Nombre arithmétique
Progression arithmétique
Propriétés arithmétiques
Associativité
Commutativité
Distributivité
Arithmétique élémentaire
Arithmétique de champ fini
Progression géométrique
Entier
Liste des publications importantes en mathématiques
Arithmétique lunaire
Calcul mental
Ligne numérique
Arithmétique des plantes

Remarques

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^ The Works of Archimedes , Chapitre IV, Arithmetic in Archimedes , édité par TL Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
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↑ Référence : Revue de l’Orient Chrétien par François Nau pp. 327–338. (1929)
^ Référence: Sigler, L., “Fibonacci’s Liber Abaci”, Springer, 2003.
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Références

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Karpinski, Louis Charles (1878–1956), L’histoire de l’arithmétique , Rand McNally, Chicago, 1925 ; réimpression : Russell & Russell, New York, 1965
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Weil, André , Théorie des nombres : Une approche à travers l’histoire , Birkhauser, Boston, 1984 ; revu : Mathematical Reviews 85c:01004

Liens externes

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Article de MathWorld sur l’arithmétique
Ouvrage de référence/arithmétique du nouvel étudiant (historique)
Le grand calcul selon les Indiens , de Maximus Planudes – un des premiers travaux occidentaux sur l’arithmétique à Convergence
Weyde, PH Vander (1879). “Arithmétique” . La Cyclopaedia américaine .