En mathématiques , un diviseur d’un nombre entier n {displaystyle n} 
Les diviseurs de 10 illustrés avec des réglettes de Cuisenaire : 1, 2, 5 et 10
Définition
Un entier n est divisible par un entier m non nul s’il existe un entier k tel que n = k m {displaystyle n=km} 
m ∣ n . {displaystyle mmid n.} 
D’autres façons de dire la même chose sont que m divise n , m est un diviseur de n , m est un facteur de n et n est un multiple de m . Si m ne divise pas n , alors la notation est m ∤ n {displaystyle mnot mid n} 
Habituellement, m doit être différent de zéro, mais n peut être égal à zéro. Avec cette convention, m ∣ 0 {displaystyle mmid 0} 
Général
Les diviseurs peuvent être aussi bien négatifs que positifs, bien que parfois le terme soit limité aux diviseurs positifs. Par exemple, il y a six diviseurs de 4 ; ce sont 1, 2, 4, -1, -2 et -4, mais seuls les positifs (1, 2 et 4) seraient généralement mentionnés.
1 et −1 divisent (sont des diviseurs de) chaque entier. Tout entier (et sa négation) est un diviseur de lui-même. Les entiers divisibles par 2 sont appelés pairs et les entiers non divisibles par 2 sont appelés impairs .
1, −1, n et − n sont connus comme les diviseurs triviaux de n . Un diviseur de n qui n’est pas un diviseur trivial est appelé diviseur non trivial (ou diviseur strict [4] ). Un entier différent de zéro avec au moins un diviseur non trivial est appelé nombre composé , tandis que les unités -1 et 1 et les nombres premiers n’ont pas de diviseurs non triviaux.
Il existe des règles de divisibilité qui permettent de reconnaître certains diviseurs d’un nombre à partir des chiffres du nombre.
Exemples
Tracé du nombre de diviseurs d’entiers de 1 à 1000. Les nombres premiers ont exactement 2 diviseurs et les nombres hautement composés sont en gras.
- 7 est un diviseur de 42 car 7 × 6 = 42 {displaystyle 7fois 6=42}
, on peut donc dire 7 ∣ 42 {displaystyle 7mid 42}
. On peut aussi dire que 42 est divisible par 7, 42 est un multiple de 7, 7 divise 42 ou 7 est un facteur de 42.
- Les diviseurs non triviaux de 6 sont 2, −2, 3, −3.
- Les diviseurs positifs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- L’ ensemble de tous les diviseurs positifs de 60, A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 } {displaystyle A={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}}
, partiellement ordonné par divisibilité, a le diagramme de Hasse :
Autres notions et faits
Il existe quelques règles élémentaires :
- Si a ∣ b {displaystyle amid b}
et b ∣ c {displaystyle bmid c}
, alors a ∣ c {displaystyle amid c}
, c’est à dire que la divisibilité est une relation transitive .
- Si a ∣ b {displaystyle amid b}
, alors a = b {displaystyle a=b}
ou alors a = − b {displaystyle a=-b}
.
- Si a ∣ b {displaystyle amid b}
tient, tout comme a ∣ ( b − c ) {displaystyle amid (bc)}
. [5] Cependant, si a ∣ b {displaystyle amid b}
, alors ( a + c ) ∣ b {displaystyle (a+c)mid b}
ne tient pas toujours (ex. 2 ∣ 6 {displaystyle 2mid 6}
et 3 ∣ 6 {displaystyle 3mid 6}
mais 5 ne divise pas 6).
Si a ∣ b c {displaystyle amid bc} 
Si p {displaystyle p} 
Un diviseur positif de n {displaystyle n}
Un nombre entier n > 1 {displaystyle n>1} 
Tout diviseur positif de n {displaystyle n}
Un numéro n {displaystyle n}
Le nombre total de diviseurs positifs de n {displaystyle n} 
Si la Factorisation première de n {displaystyle n}
n = p 1 ν 1 p 2 ν 2 ⋯ p k ν k {displaystyle n=p_{1}^{nu _{1}},p_{2}^{nu _{2}}cdots p_{k}^{nu _{k}}} 
alors le nombre de diviseurs positifs de n {displaystyle n}
d ( n ) = ( ν 1 + 1 ) ( ν 2 + 1 ) ⋯ ( ν k + 1 ) , {displaystyle d(n)=(nu _{1}+1)(nu _{2}+1)cdots (nu _{k}+1),} 
et chacun des diviseurs a la forme
p 1 μ 1 p 2 μ 2 ⋯ p k μ k {displaystyle p_{1}^{mu _{1}},p_{2}^{mu _{2}}cdots p_{k}^{mu _{k}}} 
où 0 ≤ μ i ≤ ν i {displaystyle 0leq mu _{i}leq nu _{i}} 
Pour chaque naturel n {displaystyle n} 
Aussi, [6]
d ( 1 ) + d ( 2 ) + ⋯ + d ( n ) = n ln n + ( 2 γ − 1 ) n + O ( n ) . {displaystyle d(1)+d(2)+cdots +d(n)=nln n+(2gamma -1)n+O({sqrt {n}}).} 
où γ {displaystylegamma} 
En algèbre abstraite
Théorie des anneauxRéseau de division
Dans les définitions qui incluent 0, la relation de divisibilité transforme l’ensemble N {displaystyle mathbb {N} } 
Voir également
- Fonctions arithmétiques
- Algorithme d’Euclide
- Fraction (mathématiques)
- Table des diviseurs – Une table des diviseurs premiers et non premiers pour 1–1000
- Tableau des facteurs premiers – Un tableau des facteurs premiers pour 1–1000
- Diviseur unitaire
Remarques
- ^ gcd {style d’affichage gcd }
fait référence au plus grand diviseur commun .
- ^ un b Hardy & Wright 1960 , p. 1
- ^ un b Niven, Zuckerman & Montgomery 1991 , p. 4
- ^ Durbin 2009 , p. 57, chapitre III article 10
- ^ “FoCaLiZe et Dedukti à la rescousse pour l’interopérabilité des preuves par Raphael Cauderlier et Catherine Dubois” (PDF) .
- ^ a ∣ b , a ∣ c ⇒ b = j a , c = k a ⇒ b + c = ( j + k ) a ⇒ a ∣ ( b + c ) {displaystyle amid b,,amid cRightarrow b=ja,,c=kaRightarrow b+c=(j+k)aRightarrow amid (b+c)}
. De la même manière, a ∣ b , a ∣ c ⇒ b = j a , c = k a ⇒ b − c = ( j − k ) a ⇒ a ∣ ( b − c ) {displaystyle amid b,,amid cRightarrow b=ja,,c=kaRightarrow bc=(jk)aRightarrow amid (bc)}
- ^ Hardy & Wright 1960 , p. 264, Théorème 320
Références
- En ligneDurbin, John R. (2009). Algèbre moderne: une introduction (6e éd.). New York : Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
- Richard K. Guy , Problèmes non résolus en théorie des nombres (3e éd.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; partie B.
- Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Une introduction à la théorie des nombres (4e éd.). Presse universitaire d’Oxford.
- Herstein, IN (1986), Abstract Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S.; En ligneMontgomery, Hugh L. (1991). Une introduction à la théorie des nombres (5e éd.). John Wiley et fils . ISBN 0-471-62546-9.
- Øystein Ore , Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (et réimpressions de Douvres).
- Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach , New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9