Charles Jean de la Vallée Poussin

V n = S n + S n + 1 + ⋯ + S 2 n − 1 n {displaystyle V_{n}={frac {S_{n}+S_{n+1}+cdots +S_{2n-1}}{n}}} ,

où

S n = 1 2 c 0 ( f ) + ∑ i = 1 n c i ( f ) T i {displaystyle S_{n}={frac {1}{2}}c_{0}(f)+sum _{i=1}^{n}c_{i}(f)T_{i}}

et

c i ( f ) {displaystyle c_{i}(f),}

sont les vecteurs de la base duale par rapport à la base des polynômes de Chebyshev (définis comme

( T 0 / 2 , T 1 , … , T n ) . {displaystyle (T_{0}/2,T_{1},ldots ,T_{n}).}

Notez que la formule est également valable avec S n {displaystyle S_{n}} étant la somme de Fourier d’un 2 π {displaystyle 2pi } – fonction périodique F {displaystyle F} tel que

F ( θ ) = f ( cos ⁡ θ ) . {displaystyle F(theta )=f(cos theta ).,}

Enfin, les sommes de La Vallée Poussin peuvent être évaluées en fonction des sommes dites de Fejér (disons F n {displaystyle F_{n}} )

V n = 2 F 2 n − 1 − F n − 1 . {displaystyle V_{n}=2F_{2n-1}-F_{n-1}.,}

Le noyau est borné ( V n ≤ 3 {displaystyle V_{n}leq 3} ) et respecte la propriété

f ∗ V n = f {displaystyle f*V_{n}=f,} , si f ( x ) = ∑ j = − n n a j e i j x . {displaystyle f(x)=sum _{j=-n}^{n}a_{j}e^{ijx}.,}

Plus tard, il a travaillé sur la théorie du potentiel et l’analyse complexe .

Le graphique de Poussin

Il a également publié un contre-exemple à la fausse preuve d’ Alfred Kempe du théorème des quatre couleurs . Le graphe de Poussin , le graphe qu’il a utilisé pour ce contre-exemple, porte son nom.

Cours d’analyse

Les manuels de son cours d’analyse mathématique ont longtemps été une référence et ont eu un certain rayonnement international. ^[4]

La seconde édition (1909-1912) est remarquable par l’introduction de l’intégrale de Lebesgue. C’était en 1912, “le seul manuel d’analyse contenant à la fois l’intégrale de Lebesgue et son application aux séries de Fourier, et une théorie générale de l’approximation des fonctions par les polynômes”. ^[4]

La troisième édition (1914) a introduit la définition désormais classique de la différenciation due à Otto Stolz . Le deuxième volume de cette troisième édition fut brûlé dans l’ incendie de Louvain lors de l’ invasion allemande .

Les éditions ultérieures étaient beaucoup plus conservatrices, revenant essentiellement à la première édition. A partir de la huitième édition, Fernand Simonart prend en charge la révision et la publication du Cours d’analyse.

Publications sélectionnées

• Œuvres , vol. 1 (Biographie et théorie des nombres), 2000 (eds. Mawhin, Butzer, Vetro), vols. 2 à 4 prévus
• Cours d’Analyse , 2 vol., 1903, 1906 (7e édition 1938), Réimpression de la 2e édition 1912, 1914 par Jacques Gabay, ISBN 2-87647-227-9 (ne traite que de l’analyse réelle). ^[5] En ligne :
  • Cours d’analyse infinitésimale, Tome I ^[6]
  • Cours d’analyse infinitésimale, Tome II
• Intégrales de Lebesgue, fonctions d ́ensemble, classes de Baire , ^[7] 2e édition 1934, Réimpression par Jacques Gabay, ISBN 2-87647-159-0
• Le potentiel logarithmique, balayage et représentation conforme , Paris, Löwen 1949
• Recherches analytiques de la théorie des nombres premiers , Annales de la Société scientifique de Bruxelles vol. 20 B, 1896, p. 183–256, 281–352, 363–397, vol. 21 B, pp. 351–368 (théorème des nombres premiers)
• Sur la fonction Zeta de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une donnée limitée , Mémoires couronnés de l’Académie de Belgique, vol.59, 1899, pp. 1–74
• Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle Paris, Gauthier-Villars, 1919, ^[8] 1952

Voir également

• La Vallée Poussin

Remarques

1. ^ “Prix Poncelet” . Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences : 791. 18 décembre 1916.
2. ^ “Charles de La Vallée Poussin” .
3. ^ Nécrologie de Charles-Joseph de La Vallée Poussin : Journal de la London Mathematical Society 39 (1964) pp. 165–175
4. ^ ^{un b} Mawhin, Jean (19 septembre 2014). “Le Cours d’Analyse Infinitésimale de Charles-Jean de La Vallée Poussin : De l’Innovation à la Tradition”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 116 (4): 243-259. doi : 10.1365/s13291-014-0100-z . ISSN 0012-0456 . S2CID 119983767 .
5. ^ Porter, MB (1915). “Revue : Cours d’Analyse Infinitésmale , par Ch.-J. de La Vallée Poussin” (PDF) . Taureau. Amer. Math. Soc . 22 (2): 77–85. doi : 10.1090/s0002-9904-1915-02725-4 .
6. ^ Porter, MB (1925). “Revue : Cours d’Analyse Infinitésimale, Tome I , par Ch. J. de La Vallée Poussin” (PDF) . Taureau. Amer. Math. Soc . 31 (1): 83. doi : 10.1090/s0002-9904-1925-04009-4 .
7. ^ Carmichael, RD (1918). “Revue : Intégrales de Lebesgue, Fonctions d’Ensemble, Classes de Baire , par C. de La Vallée Poussin” (PDF) . Taureau. Amer. Math. Soc . 24 (7): 348–355. doi : 10.1090/s0002-9904-1918-03091-7 .
8. ^ Jackson, Dunham (1922). “Review: Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle , par C. de La Vallée Poussin” (PDF) . Taureau. Amer. Math. Soc . 28 (1): 59–61. doi : 10.1090/S0002-9904-1922-03513-6 .

Liens externes

• Charles Jean de La Vallée Poussin au Projet Généalogie Mathématique
• Biographie universelle, par Didot .
• O’Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , “Charles Jean de La Vallée Poussin” , archives MacTutor History of Mathematics , Université de St Andrews